Korrelationskoeffizient

23.05.2018, 22:59

Lauraundlisa1

Korrelationskoeffizient

Hallo ich habe 3 Aufgaben und würde gerne wissen ob ich diese richtig gelöst habe ?

zu der Aufgabe 1 (Die Berechnung) :

$\begin{eqnarray*} E(X)=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y)=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X)=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(Y)=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X*Y)=0,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C(X,Y)=0,15 \end{eqnarray*}$

darausfolgt $\begin{eqnarray*} r(X,Y)=0,3 \end{eqnarray*}$

richtig ?

zu Aufgabe 2( Beweis) :

$\begin{eqnarray*} \frac{C(aX+b,cY+d)}{\sqrt{V(a*X+b)V(c*Y+d)} } \end{eqnarray*}$

mit der Bilinearität der Kovarianz und den Varianz REGELN folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a*cC(X+b,Y+d)}{\sqrt{a^2*c^2V(X+b)V(Y+d)} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{C(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)} } =r(X,Y) \end{eqnarray*}$

und zur letzten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} C(X_1,X_1+X_2)=C(X_1,X_1)+C(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ der 2 Summand ist 0 wegen der unab.

Also ist nur V(X_1) zu berechnen. die Varianz eines fairen würfels ist: 2,92

und r(X_1,X_1+X_2) = 1/sqrt(V(X_1)*V(X_2)) stimmt das so ?

24.05.2018, 08:15

HAL 9000

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1) ist in Ordnung.

2) Der Zwischenschritt mit dem $\begin{eqnarray*} C(X+b,Y+d) \end{eqnarray*}$ ist unklar, denn ein Ausklammern von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hat ja wohl eher den Term $\begin{eqnarray*} a\cdot c\cdot C\left(X+\frac{b}{a},Y+\frac{d}{c}\right) \end{eqnarray*}$ zur Folge, der Lapsus hat aber letztlich keine Auswirkungen. Ein wenig deutlicher hätte noch herauskommen dürfen, warum Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a\cdot c>0 \end{eqnarray*}$ wichtig ist.

Was 3) betrifft: Immer so genau rechnen, wie möglich, d.h. es ist $\begin{eqnarray*} V(X_1)=\frac{35}{12} \end{eqnarray*}$ . Ein gerundetes Ergebnis ist allenfalls noch zusätzlich anzugeben.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
und r(X_1,X_1+X_2) = 1/sqrt(V(X_1)*V(X_2)) stimmt das so ?

Nein - nochmal genau einsetzen und dann durchrechnen.

24.05.2018, 16:25

Lauraundlisa1

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Hallo Hal

zu 2)

Ja du hast Recht a*c >0 ist wichtig, denn wenn a*c=0 wäre, wäre der nenner nicht definiert.
Wenn ac<0 wäre müssen wir +- ac betrachten denn sqrt(a^2*c^2) = |ac| für ac element von R.

Stimmts ?

Zu 3)

$\begin{eqnarray*} \frac{V(X_1)}{\sqrt{V(X_1)^2+V(X_1)*V(X_2)} } \end{eqnarray*}$ ?

Und da V(X_2)= V(X_1)= 35/12 ist könnte ich das nun in den Term einsetzen oder ?

24.05.2018, 16:30

HAL 9000

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Information $\begin{eqnarray*} V(X_2)=V(X_1) \end{eqnarray*}$ reicht bereits, der konkrete Wert ist unwichtig, es kommt dann Korrelationskoeffizient $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ heraus.

24.05.2018, 17:08

Lauraundlisa1

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Ja stimmt du hast Recht. Ich danke dir Hal smile

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