Ebene zwischen zwei parallelen Ebenen

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene zwischen zwei parallelen Ebenen
Hallo ihr Lieben, ich bin gerade dabei, mein Wissen in analytischer Geometrie wieder aufzufrischen. Dazu habe ich mir ein paar Aufgaben mit Lösungen im Internet runtergeladen.
Nun ist hier eine Aufgabe, die ich etwas anders angegangen bin und mich frage, warum ich nicht das gleiche Ergebnis wie in der Lösung heraus bekomme bzw. wo der Fehler in meinem Weg steckt.
Wäre toll, wenn mir jemand einen Schubs geben könnte Augenzwinkern
Gegeben sind die beiden Ebenen
und

Dass die beiden Ebenen parallel zueinander liegen, kann man ja relativ leicht zeigen, indem man mittels Vektorprodukt auch den Normalenvektor von bestimmt.
Nun soll man die Gleichung einer Ebenen aufstellen, die parallel zu den beiden Ebenen ist und von beiden den selben Abstand hat (also genau in der Mitte der beiden liegt).
Ich habe mir gedacht, ich gehe so vor, dass ich den Aufpunkt von nehme und dann schaue, ob der Normalenvektor der beiden Ebenen zu hin oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt, dann den Abstand zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen und letztendlich den halben Abstand vom Aufpunkt von in Richtung des normierten Normalenvektors zu hin zu "gehen", um einen Aufpunkt von zu finden.
Zunächst habe ich also die Gerade mit geschnitten und ein negatives Erbgebnis für heraus bekommen, was bedeutet, dass von aus in "falsche Richtung" zu zeigt.
Als Abstand der Ebenen habe ich 2 LE heraus bekommen (habe den Abstand von zu bestimmt mittels Umformung in die HNF.
Außerdem gilt

Für den Aufpunkt von habe ich also letztendlich gewählt. Den Normalenvektor kann ich ja für beibehalten.

Also (kann man natürlich auch noch ein bisschen schöner machen.

So, nun aber zur Musterlösung. Ich kann deren Weg schon nachvollziehen, jedoch kommt ein anderes Ergebnis dabei raus.
Die sind so vorgegangen, dass sie einen beliebigen Punkt von und einen beliebigen Punkt von genommen und den Mittelpunkt der Strecke zwischen diesen beiden Punkten als Aufpunkt genommen haben. Damit bekommen sie .

Nun ist ja aber leider nicht dassselbe wie meine Ebene bzw. M liegt nicht innerhalb meiner Ebene...

Was hab ich falsch gemacht? traurig
Und ja, ich weiß, dass mein Weg erheblich umständlicher ist Big Laugh

LG und danke im Voraus!

Edit (mY+): LaTeX z.T. berichtigt.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nichts falsch gemacht. Deine und die Ebene der Musterlösung stimmen überein.
Vielleicht hast Du Dich nach Deiner Höllenrechnung in der Punktprobe vertan. Augenzwinkern
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
Vielleicht hast Du Dich nach Deiner Höllenrechnung in der Punktprobe vertan. Augenzwinkern

Tatsächlich, ich Idiot Hammer LOL Hammer
Danke dir!
Und dann hab ich alleine 15min gebraucht, das alles hier einzutippen Big Laugh oh Mann. Fail.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gestehe, daß die Punktprobe bei mir zuerst ebenfalls nicht glückte. Also habe ich einen jeden Deiner Rechenschritte kontrolliert und konnte keinen Fehler finden. Fail! Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein errechneter Aufpunkt für E3 ist richtig, desgleichen auch die Gleichung der Ebene.
Der Unterschied ist lediglich der, dass M in der Musterlösung der Mittelpunkt einer anderen Strecke ist als bei deiner.
Die Mittelpunkte aller möglichen Strecken liegen jedoch alle in E3.

Wenn du die beiden Ebenengleichungen genauer vergleichst, wirst du erkennen, dass es sich um ein und dieselbe Ebene handelt.

mY+
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
Ich gestehe, daß die Punktprobe bei mir zuerst ebenfalls nicht glückte. Also habe ich einen jeden Deiner Rechenschritte kontrolliert und konnte keinen Fehler finden. Fail! Big Laugh

danke für deine Mühe und schönen Abend wünsche ich noch! <3
 
 
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