Kletterstange mit Abstand zu Pfosten

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Kletterstange mit Abstand zu Pfosten
So, noch eine Aufgabe, bei der mir die Musterlösung Probleme bereitet.
Gegeben ist ein Turm mit vertikalen Pfosten, die parallel zur -Achse sind und deren Grundfläche parallel zur -Ebene ist. (siehe Anhang, erstes Bild).
Nun lautet die Aufgabe wie folgt:
Zitat:
Es soll eine vertikale Kletterstange aufgestellt werden, deren Fußpunkt im Modell durch einen Punkt P der -Ebene beschrieben wird. Die Kletterstange soll von dem Pfosten, der durch die Strecke AE dargestellt wird, doppelt so weit entfernt sein wie von dem Pfosten, der durch die Strecke BF dargestellt wird. Bestimmen Sie für die zwei möglichen Positionen der Kletterstange jeweils die Koordinaten von P.

In der Lösung wird nun so vorgegangen, dass A und B einfach in die -Ebene projiziert werden durch Vernachlässigung der dritten Koordinate und dann auf dem Vektor zwei Punkte gewählt werden, einmal einer zwischen A und B (2/3 Abstand zu A, 1/3 zu B) und einmal einer "hinter" B, also doppelt so weit von A aus.

Mir stellt sich nun aber die Frage, warum die Punkte denn unbedingt auf dieser Gerade liegen müssen? Könnte man sich nicht "beliebig" innerhalb der -Ebene bewegen? Als Beispiel dazu habe ich mal mit Paint (siehe Anhang zweites Bild) was aufgemalt. Ich hoffe, es ist verständlich, wie ich das meine.
LG und danke!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das von dir angesprochene Szenario ist durchaus ebenso vorstellbar.
Die Menge aller dieser die Bedingung erfüllenden möglichen Punkte liegt auf einem Kreis* mit dem Mittelpunkt auf der Geraden, und der die Gerade auch in den zwei Punkten schneidet, die in der Lösung angegeben sind.

(*) Der Kreis lässt sich mittels der Bedingung AX = 2*BX berechnen

mY+
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe! Du meinst so wie in meinem Bildanhang, oder?
Dann finde ich aber, die Aufgabenstellung ist etwas falsch. Denn es gibt nicht nur DIE zwei Punkte. Das sind vielleicht die einfachsten zwei...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so sehe ich das auch.

mY+
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Noch kurz zur Ergänzung:
Mich hat nämlich interessiert, ob "das wirklich stimmt", bzw. ich wollte für einen Punkt auf dem Kreisring überprüfen, ob die Bedingung erfüllt ist.
Dazu habe ich zunächst den Abstand zwischen A und B vereinfacht auf 1 festgelegt und A(0|0), B(1|0) festgelegt. Somit ergibt sich dann für M(4/3|0) bzw. die Kreisgleichung

Dann habe ich einfach nur den oberen Kreisring betrachtet, damit ich eine positive Wurzel bei der Umformung erhalte, man kann es ja genau so für den unteren Kreisring machen, also
, also der Punkt


Damit erhalte ich für den Abstand :

und für den Abstand :


Sollte also passen!
Hab ich das so richtig überprüft? smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst von einem Kreisring (?), ich sehe aber keinen!
----------
Wenn du für den Abstand eine durch 3 teilbare Zahl wählst, z.B. 6, werden Mittelpunkt und Radius ganzzahlig, somit ist es leichter zu rechnen.

Aber es stimmt auch so.

mY+
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hab mich falsch ausgedrückt. Ich meine den KreisRAND (oder wie nennt man das? Big Laugh ), also einfach nur nicht innerhalb des Kreises^^
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es besser, oder einfach - Kreislinie.
Ein Kreisring besteht nämlich aus zwei konzentrischen Kreisen.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das Pferd eher von der anderen Seite her aufzäumen: Ausgehend von mit der Bedingung suchen wir eine Bestimmungsgleichung für :

Dann ist , was bedeutet, und weiter

.

Jetzt noch quadratisch ergänzen durch Addition ergibt die bewusste Kreisgleichung

.

Und das für den ganzen Kreis, nicht nur eine Hälfte. Alles äquivalente Umformungen oben, und damit auch rückwärts lesbar.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr elegant, danke HAL9000!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
...
(*) Der Kreis lässt sich mittels der Bedingung AX = 2*BX berechnen
...

Offensichtlich überlesen? :-(
----------
Meine andere Antwort ist gewesen, dass die andere Rechnung - wenn auch nicht "elegant" - eben auch richtig war.

mY+
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja, tut mit Leid! Ich war so voreilig, da hab ich gar nicht zuende gelesen!
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