Kardinalität /Mächtigkeit einer Menge

25.05.2018, 09:08

Lisa:)

Kardinalität /Mächtigkeit einer Menge

Meine Frage:
Hallo,
Ich hab folgendes Problem: A und B seien zwei Mengen: ich möchte Beweisen, dass die Kardinalität der Vereinigung von A und B = die Kardinalität von A + Kardinalität von B - Kardinalität vom Schnitt von A und B ist .

LG Lisa

Meine Ideen:
Die Kardinalität ist die Mächtigkeit das bedeutet die Anzahl der Elemente in der Menge.
Ich habe mir dazu ein Bild mit Mengendiagrammen gemalt. Demzufolge muss die Aussage stimmen und ich kann es auch nachvollziehen, aber wie zeige ich das ganze etwas formaler?

25.05.2018, 09:22

HAL 9000

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Zunächst mal nehme ich an, dass die Mengen endlich sind, oder? Ansonsten darf man das nämlich nicht zu schreiben, beispielsweise sieht $\begin{eqnarray*} \infty+\infty-\infty \end{eqnarray*}$ rechts irgendwie blöd aus...

Ansonsten darfst du vermutlich $\begin{eqnarray*} |A\cup B| = |A|+|B| \end{eqnarray*}$ für disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ bereits nutzen, oder? In dem Fall bietet sich für allgemeine Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ die disjunkte Zerlegung $\begin{eqnarray*} A\cup B = (A\setminus B)\cup (A\cap B) \cup (B\setminus A) \end{eqnarray*}$ für die weitere Argumentation an (eigentlich reicht auch schon $\begin{eqnarray*} A\cup B = A \cup (B\setminus A) \end{eqnarray*}$ ).

25.05.2018, 10:22

Lisa:)

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Kardinalität / Mächtigkeit
$\begin{eqnarray*} |A\cup B| = | (A\B)\cup (A\cap B)\cup (B\A) | -| A\cap B | \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich jetzt also diesen Schritt und wie kriege ich das zusammengefasst?

25.05.2018, 10:33

Lisa:)

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Kardinalität / Mächtigkeit
Ach jetzt hab ich es schon.
Voraussetzung für die disjunkte Vereinigung ist ja, dass der Schnitt von A und B leer ist.

Nochmal vielen vielen Dank für die schnelle Hilfe smile

25.05.2018, 10:58

Lisa:)

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Kardinalität / Mächtigkeit
Ich habe jetzt doch noch eine Frage
Bin jetzt schon bei einer weiteren Aufgabe

$\begin{eqnarray*} | A\cup B\cup C| = | A | +| B | +| C | -| A\cap B| - | A\cap C | - | B\cap C | +| A\cap B\cap C | \end{eqnarray*}$

Darf ich für A, B, C hier auch die disjunkt Vereinigung anwenden?

25.05.2018, 11:23

RavenOnJ

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RE: Kardinalität / Mächtigkeit

Zitat:

Original von Lisa
$\begin{eqnarray*} |A\cup B| = | (A\B)\cup (A\cap B)\cup (B\A) | -| A\cap B | \end{eqnarray*}$

Dies ist allerdings nicht richtig, da ja bereits $\begin{align*} A\cup B=(A\setminus B)\cup (A\cap B )\cup (B\setminus A) \end{align*}$ mit disjunkten Mengen auf der rechten Seite. Man kann sich solche Beziehungen übrigens sehr schön mittels Venn-Diagrammen klar machen.

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