Aus Stetigkeit totale Differenzierbarkeit von (xy)/x^2+y^2

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HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Stetigkeit totale Differenzierbarkeit von (xy)/x^2+y^2
Moin, ich brauche mal jemanden zum diskutieren.

Gegeben ist: für und 0 für

Ich soll entscheiden ob sie partiell differenzierbar und oder total diffbar auf R^2 ist.

An sich ist die Funktion ja nicht stetig in (x,y)=0 (Test mit Nullfolge)

Für Kritische Stellen habe ich den Grenzwert von x bzw y berechnet:
Für x:

Für y:


Die Partiellen Ableitungen sind:


und halt 0 für (x,y)=0

Also wenn ich bis hier keinen Fehler gemacht habe ist es partiell diffbar.

Also zur totalen. Dafür brauche ich die Stetigkeit aller partiellen Ableitungen.
Da Komposition stetiger Funktionen ist es auf stetig.

Kritische Stelle überprüfen:
Hier fängt meine Unsicherheit an, weil mir alles sagt, dass die Funktion nicht total diffbar ist. Aber wenn ich die Nullfolge und einsetze erhalte ich bei der Ableitung von x: und das zeigt ja die Stetigkeit.

Zum überprüfen der totalen differenzierbarkeit haben wir:
wobei J die Jacobimatrix ist

Wenn ich dafür alles einsätze kommt aber auch 0 raus.

Kann mir jemand sagen ob ich zu kompliziert denke oder einen Fehler gemacht habe?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus Stetigkeit totale Differenzierbarkeit von (xy)/x^2+y^2
Bis dahin stimmt alles:
Zitat:
Original von HenneMa

Zum überprüfen der totalen differenzierbarkeit haben wir:
wobei J die Jacobimatrix ist

Wenn ich dafür alles einsätze kommt aber auch 0 raus.

Wenn man alles einsetzt, kommt allerdings nicht 0 raus!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Kann mir jemand sagen ob ich zu kompliziert denke


Ja, eine in einem Punkt total differenzierbare Funktion ist dort stetig. Das folgt sofort aus der Definition und steht auch bestimmt in eurem Skript. Dies ist auf jeden Fall der schnellste Weg zum Ziel.

Weiter lässt sich sagen, dass du mit einer einzelnen Folge zwar die Stetigkeit widerlegen kannst, sie aber, falls vorhanden, nicht zeigen kannst. Dafür müsstest du zeigen, dass die Grenzwertbedingung für alle Nullfolgen erfüllt ist und du hast es ja nur für eine einzige gezeigt.

Zudem ist das Kriterium mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen hier nicht zielführend. Wenn du zeigen kannst, dass die Ableitungen in nicht stetig sind, widerlegt dies nicht die Differenzierbarkeit. Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist echt stärker als die Existenz der totalen Ableitung. Es kann also total Differenzierbare Abbildungen geben, deren partielle Ableitungen nicht stetig sind.

Das heißt, du müsstest dich, wenn du nicht den einfachen Weg oben gehen willst, an die Definition der totalen Differenzierbarkeit machen. Warum da bei dir herauskommt, müsstest du einmal vorführen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor man über Differenzierbarkeit nachdenkt, sollte man noch mal über die Stetigkeit nachdenken. Betrachtet man die Funktion auf der x-Achse, also bei , so ist dort überall 0. Betrachtet man sie auf der Diagonalen , so ist so dort überall , außer im Nullpunkt.
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »
AW: Aus Stetigkeit totale Differenzierbarkeit von (xy)/x^2+y^2
Vielen Dank für die antworten.

Zitat:
Ja, eine in einem Punkt total differenzierbare Funktion ist dort stetig. Das folgt sofort aus der Definition und steht auch bestimmt in eurem Skript. Dies ist auf jeden Fall der schnellste Weg zum Ziel.


Es gibt aber doch auch Funktionen, die stetig sind, aber nicht differnzierbar, zumindest in einem Punkt.

Zitat:
Weiter lässt sich sagen, dass du mit einer einzelnen Folge zwar die Stetigkeit widerlegen kannst, sie aber, falls vorhanden, nicht zeigen kannst. Dafür müsstest du zeigen, dass die Grenzwertbedingung für alle Nullfolgen erfüllt ist und du hast es ja nur für eine einzige gezeigt.


Gibt es denn eine einen Zusammenhang, dass wen f(x,y,) nicht stetig auf ganz R^n ist, dann können dessen partiellen Ableitungen auch nicht Stetig auf ganz R^2 sei?

Genau das habe ich auch befürchtet. Kann ja sein, dass ich eine dumme Folge erwischt habe bei der es doch klappt. Aber ich kann ja jetzt auch nicht alles ausprobieren bis irgendwo ein Wiederspruch da ist.

Eingesetzt in die Definition erhalte ich:


Das geht glaub ich gegen unendlich.
Aber wenn ich das gleiche wieder mit der Nullfolge versuche klappt es. Da geht der Ausdruck gegen 0.

Kann ich denn sagen die totale Diffbarkeit ist wegen der oberen Formel mit ungleich 0 nicht gegeben?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AW: Aus Stetigkeit totale Differenzierbarkeit von (xy)/x^2+y^2
Meine kurze Antwort ist dir wohl entgangen?
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt aber doch auch Funktionen, die stetig sind, aber nicht differnzierbar, zumindest in einem Punkt.


Das hat mit der Aufgabe aber gar nichts zu tun.

Dreh das doch mal um. Wenn die Funktion in 0 differenzierbar wäre, dann...
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine kurze Antwort ist dir wohl entgangen?


Nein, aber von welcher Funktion sprichst du überhaupt.

Hier sind viele.
Das nicht stetig ist weiß ich. Da geht es auch nicht drum

Es geht um die Stetigkeit der partiellen Ableitungen und wenn ich da die Nullfolge 1/n einsetze Klappt es obwohl ich denke, dass es nicht klappen wollte.

Wir dürfen bei aber auch nicht mehr differenzierbarkeit aus Stetigkeit schließen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte überlesen, dass ganz oben schon steht, dass die Funktion nicht stetig.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal die partielle Ableitung nach für an und für .
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Schau dir mal die partielle Ableitung nach für an und für .


Wenn bei der partiellen Ableitung von x y=0 ist, dann ist die Funktion immer 0
bei y=x^2 läuft der Funktionswert gegen - unendlich bei x gegen 0.

Aber die Funktion ist ja definiert durch wenn (x,y)=0 dann nutze 0 als Funktionswert.
Bei y=x^2 und x=0 wird einfach null genutzt. Und stetig ist es auch, weil wenn man eine Nullfolge einsetzt kommt man auch auf 0.

Also bring mir dein Argument nichts.

Mein Hauptargument bleibt aber die Definition der totalen diffbarkeit, die hier nicht erfüllt ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HenneMa
bei y=x^2 läuft der Funktionswert gegen - unendlich bei x gegen 0.

Da bekomme ich etwas anderes heraus. In diesem Fall lässt sich die partielle Ableitung nach x vereinfachen zu



Der Grenzwert der Ableitung für x gegen Null ist dann -1. Wenn der Grenzwert der partiellen Ableitung nach x auf einer Kurve 0 ist und auf einer anderen Kurve -1, dann ist die partielle Ableitung im Nullpunkt nicht stetig. Der Wert der Funktion selbst im Nullpunkt ist dabei unerheblich.
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da bekomme ich etwas anderes heraus. In diesem Fall lässt sich die partielle Ableitung nach x vereinfachen



Das Problem ist diese "Vereinfachung" ist falschen.

Deine Vereinfachung darfst du nur nehmen, wenn .

Setze mal eine 0 oder eine Nullfolge in den nicht vereinfachten Term hier ein:
und dann nochmal in deine Vereinfachung und du sieht, es sind zwei unterschiedliche Funktionen im Punkt 0.

Aber selbst dann ist wieder die Bedinngung erfüllt und für den Funktionswert wird einfach 0 angenommen.

Aufpassen beim vereinfachen und Wann welcher Funktionswert bei zusammengesetzten Funktionen genommen wird!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HenneMa
Deine Vereinfachung darfst du nur nehmen, wenn .

Ja selbstverständlich. Das mache ich auch. Und für betrachte ich dann Grenzwert für gegen Null.

Mein Eindruck ist, du willst das gar nicht verstehen. Deshalb verabschiede ich mich.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ein ganz allgemeiner Tipp: Wenn dir in diesem Forum jemand hilft und du meinst, er liege falsch, dann liegt das in den allermeisten Fällen nicht daran, dass der Helfer falsch liegt, sondern daran, dass du den Tipp falsch bzw. nicht verstanden hast.

Daraus leitet sich folgende Vorgehensweise ab, wenn man meint, ein Tipp sei nicht zielführend: Man sagt, man habe den Tipp nicht richtig verstanden und führt dann die Gründe dafür auf.

Wenn man so vorgeht wie du und es als Tatsache hinstellt, dass der Helfer falsch liege, wirkt das recht arrogant und führt oft dazu, dass sich die Helfer verabschieden.


An deiner Stelle würde ich übrigens einfach mal darüber nachdenken, warum eine Funktion, die in einem Punkt nicht stetig ist, dort auch nicht total differenzierbar sein kann. Dann hast du die totale Differenzierbarkeit in einer Zeile abgehandelt.
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