Dimension zu Basis bestimmen

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samm1 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension zu Basis bestimmen
Meine Frage:
[attach]47257[/attach]

meine Fragen sind
1. hat die 2 hier eine Rolle ?
2. bei mir ist n element R ? aber das kommt mir irgendwie falsch vor

ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

Meine Ideen:
wie gesagt ich hab erstmal bewiesen ,dass die l.u sind und dann bemerkt habe ,dass n alles annehmen kann
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear unabhängig
Zitat:
Original von samm1
1. hat die 2 hier eine Rolle ?

Ob sie eine Rolle spielt? Sicher. Wenn die Dimension 1 ist, besteht jede etwaige Basis nur aus einem Vektor. Und es lässt sich schwerlich eine Differenz zweier verschiedener Basisvektoren bilden, wenn es überhaupt nur einen einzigen Basisvektor gibt.

Zitat:
Original von samm1
2. bei mir ist n element R ? aber das kommt mir irgendwie falsch vor

Zurecht. Die Dimension eines Vektorraums ist eine natürliche Zahl (im endlichen Fall). Was sollte man sich denn unter einer Basis bestehend aus beispielsweise zweieinhalb Basisvektoren auch vorstellen? Augenzwinkern

Zitat:
wie gesagt ich hab erstmal bewiesen ,dass die l.u sind und dann bemerkt habe ,dass n alles annehmen kann

Es wäre hilfreich, wenn du deine genaue Vorgehensweise wiedergibst.
 
 
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort smile

also meine Lösung wäre
[attach]47259[/attach]
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist unleserlich. Es wäre gut, wenn du den Formeleditor des Forums nutzen würdest.

Probier doch mal ein ganz konkretes (und einfaches) Beispiel aus. Z.B. bei a). Nimm über dem Körper und nimm die Standardbasis



Wie sehen nun die Vektoren und aus?

Was lässt sich darüber sagen?

Oder so: Bilde mal die Summe der in a) angegeben Vektoren. Vllt. auch mal für oder so. Was fällt auf?
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir habe ich im Allgemeinfall gemacht also ich hab nix für n eingesetzt
zB für v1-v2 habe ich (1,-1,0) und für v2-v1 (0,1,-1)
aber was bringt mir das ?
und wie würde zB vn bzw v4 etc aussehen ?
dim >= 2 das heisst ,dass n mindesten 2 sein muss oder ? wenn ja ,dann heißt das für n = {2-unendlich } bilden meine Vektoren eine Basis oder nicht ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal: Begriffe wie Basis, Dimension etc. müssen natürlich sitzen. Sonst kann man solche Aufgaben nicht bearbeiten. Ich habe den Eindruck, dass dir diese Begriffe noch Schwierigkeiten machen.

Zitat:
Original von samm1
zB für v1-v2 habe ich (1,-1,0) und für v2-v1 (0,1,-1)

Wieso plötzlich Vektoren des R³? Mein konkretes Beispiel bezog sich auf den R². unglücklich

Zitat:
Original von samm1
wenn ja ,dann heißt das für n = {2-unendlich } bilden meine Vektoren eine Basis oder nicht ?

Nein. Auch wenn ich nur erahnen kann, was "n = {2-unendlich }" bedeuten soll.

Du solltest dich jedenfalls mal an den Gedanken gewöhnen, dass dein Resultat falsch ist. Ich habe dir ein paar konkrete Hinweise gegeben, wie du dir das klar machen kannst.

Natürlich musst du deinen Beweis am Ende ganz allgemein führen, ohne konkrete Basisvektoren zu benutzen oder für n irgendeine feste Zahl einzusetzen. Aber zu Beginn, um sich ein Bild von der Lage zu machen, kann es nie schaden, einfach mal anhand einen konkreten Beispiels zu versuchen, einen Eindruck zu gewinnen, wohin die Reise gehen könnte.
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

ups sorry ich meinte (1,-1 ) und (-1,1)
wie gesagt bei mir hab ich für a) und b) ,dass n alle zahlen sein kann also element R um die Vektoren bei a) und b) als eine Basis zu bilden

und ja bei mir machen die Begriffe Basis und Dimension leider immer noch Schwierigkeiten unglücklich
ok , ich werde deine Hinweis nehmen und versuchen
vielen Dank für deine Hilfe smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von samm1
ups sorry ich meinte (1,-1 ) und (-1,1)

Ja. Und es ist (1,-1) + (-1,1) = (0,0) und damit sind diese beiden Vektoren linear abhängig. Insbesondere bilden sie also sicherlich keine Basis.

Damit ist deine Aussage

Zitat:
wie gesagt bei mir hab ich für a) und b) ,dass n alle zahlen sein kann also element R um die Vektoren bei a) und b) als eine Basis zu bilden

schon mal falsch.

Und ich habe doch oben schon erwähnt, dass n (also die Dimension) eine natürliche Zahl sein muss.
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

achso jetzt hab ich verstanden Freude
eine Frage noch ,die vit doof ist
wie sieht dann v4,vn-1 und vn für R^3 als Standardbasisvektor ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von samm1
eine Frage noch ,die vit doof ist
wie sieht dann v4,vn-1 und vn für R^3 als Standardbasisvektor ?

Sorry, aber die Frage ergibt inhaltlich keinen Sinn. Ich weiß nicht, was du meinst.

Ich möchte noch einmal betonen, dass das Heranziehen der bekannten kanonischen Basis nur taugt, um sich mal ein konkretes Beispiel anzuschauen. Wie ich oben schon sagte, muss der Beweis letztlich mit einer nicht näher festgelegten Basis geführt werden. Da musst du dann schon bei den allgemein gehaltenenen bleiben.
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

was ich meinte
wenn ich annehme ,dass R^3 wäre dann wie sieht v3-v4 aus ? also v3 wäre (0,0,1 ) aber v4 ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von samm1
was ich meinte
wenn ich annehme ,dass R^3 wäre dann wie sieht v3-v4 aus ? also v3 wäre (0,0,1 ) aber v4 ?

Wenn man sich im R³ befindet, dessen Dimension 3 ist, dann gibt es kein . Denn Dimension 3 bedeutet: 3 Basisvektoren. Mehr nicht. Nach obiger Notation also nur und .
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

achso jetzt weiss ich der Zusammenhang zwischen Basis und Dim. Freude
noch eine Frage dann bin ich fertig
gilt dann für R^3 (v1-v2)+(v2-v3)+(v3-v1) = (-1,0,1) => L.u ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von samm1
gilt dann für R^3 (v1-v2)+(v2-v3)+(v3-v1) = (-1,0,1) => L.u ?

Oh je ... geschockt

Ich rate noch eimal dringend dazu dir die Begriffe klar zu machen. So wie ich diese Zeile lese, hast du auch den Begriff "linear unabhängig" nicht wirklich verstanden. Und was du da gerechnet hast, weiß ich leider nicht. Aber in jedem Fall ist es falsch.

Wenn du nur etwas umsortierst:

Statt

(v1-v2)+(v2-v3)+(v3-v1) = ...

schreib doch mal

v1 + (v2 - v2) + (v3 - v3) - v1 = ....

Was fällt auf?
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

es kommt (0,0,0) raus
wenn ich Satz der linear Unabhängigkeit benutze
(v1-v2)+ (v2-v3)+ (v3-v1) = 0 ,dann kommt für alle = 0 => l.u
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von samm1
es kommt (0,0,0) raus
wenn ich Satz der linear Unabhängigkeit benutze
(v1-v2)+ (v2-v3)+ (v3-v1) = 0 ,dann kommt für alle = 0 => l.u

sorry , ich weiss ich hab genervt unglücklich
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich hab es jetzt
(v1-v1)+ (v2-v2) + (v3-v3) = 0
als Ergebnis kommt 0 = 0 und das ist nur eine wahre Aussage und sagt eigentlich nichts über die Lösungsmenge aus . dh nicht l.u
ist das richtig ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Also ich weiß mir nicht mehr zu helfen. unglücklich [Edit: Wobei ich ein "nicht" bei dir überlesen hatte. Wenn es nun doch klar ist, dann ist es ja gut, für mich geht das aus deinen Formulierungen nicht wirklich hervor.]

Nach Voraussetzung bilden die Vektoren eine Basis von .

Das heißt (und das ist die Definition von linearer Unabhängigkeit): Ist , so gilt für alle .

---------------------------------------------------------------

Gefragt ist nun in a): Bilden dann auch die Vektoren eine Basis von ?

Dazu müssen sie linear unabhängig sein. Wenn es so wäre, müsste gelten (und ich wiederhole erneut die Definition von linearer Unabhängigkeit):

Ist , so gilt für alle .

Oder anders geschrieben:

Ist , so gilt für alle .

Wenn man also nur eine einzige Linearkombination findet, in der NICHT alle sind, obige Gleichung aber dennoch erfüllt ist, DANN sind die Vektoren linear abhängig.

Das ist hier leicht zu erreichen, indem man einfach für alle setzt. Das sieht man eigentlich durch bloßes Hinsehen, weil das eine astreine Teleskopsumme ergibt. Dann erhält man nämlich:



Die Vektoren sind also linear abhängig und damit keine Basis. Und zwar für kein einziges ! Die Voraussetzung, dass die Vektoren eine Basis von bilden, wurde hier witzigerweise gar nicht beachtet, da es unnötig war.
samm1 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich werde es mir durchlesen und verstehen
vielen Dank und einen schönen abend wünsche ich es dir noch ! smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Mach das. Und bevor du an die b) rangehst, alle Unklarheiten beseitigen, was Definitionen angeht, sofern noch vorhanden.

Noch ein Tipp zur b): Dort ist es so, dass die Vektoren für bestimmte n linear unabhängig sind und für andere n nicht. Ist also etwas anders als in a). Wenn du stecken bleibst auch hier ruhig mal rumprobieren für etwa n=2,3, und 4. Ggf. wenn das einfacher für dich ist, ruhig auch ganz konkret wieder mit der Standardbasis. Ist aber kein Muss.
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