Dreieck - Seite 2

28.05.2018, 13:25

Leopold

In deinem gelben Kreis sehe ich sechs Sehnen. Wie wäre es, einmal von diesen sechs Sehnen die Peripheriewinkel zu studieren? So lange, bis du die hilfreichen Sehnen findest. Ich kann dir doch nicht alles verraten ...

28.05.2018, 13:35

Masso23

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Ich würde sagen: Die Sehne BA‘ ist Nützlich. Dann haben wir das Dreieck CBA‘ und dieses Dreieck hat die Winkelgröße pi/3. Somit haben alle Peripheriewinkel die größe pi/3

28.05.2018, 13:46

Leopold

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Zitat:

Original von Masso23
Ich würde sagen: Die Sehne BA‘ ist Nützlich.

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Masso23
Dann haben wir das Dreieck CBA‘ und dieses Dreieck hat die Winkelgröße pi/3.

Schon wieder diese falsche Sprache. Ein Dreieck hat keine Winkelgröße. Ein Dreieck ist eine Figur. Ein Winkel hat eine Winkelgröße. Welcher Winkel ist hier relevant?

Zitat:

Original von Masso23
Somit haben alle Peripheriewinkel die größe pi/3

Natürlich nicht. Sondern nur die Peripheriewinkel über derselben Sehne auf demselben Bogen.

28.05.2018, 17:10

masso23

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tut mir leid für die falschen sachen unglücklich

Ich würde sagen das der Winkel A‘CB wichtig ist. Dieser Winkel hat die größe pi/3.
Dann hätten wir ja nur die Winkel die im Kreis sind gezeigt. Was sind mit den Winkeln die außerhalb des kreises sind ?Ergeben diese sich aus dem Scheitelwinkelsatz?

28.05.2018, 22:04

masso23

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noch da ?

29.05.2018, 07:26

Leopold

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Nichts ist gezeigt. Ich sehe nirgendwo eine stringente Argumentation. Du wirfst einen Winkel hin und sagst dann, daß die Winkel, die im Kreis sind, "gezeigt sind". So funktioniert Begründen nicht.

Nehmen wir also die Sehne $\begin{align*} BA' \end{align*}$ , die wir als nützlich bezeichnet haben. Mit Hilfe dieser Sehne und dem Umfangswinkelsatz kannst du nur einen der sechs Winkel bei $\begin{align*} F \end{align*}$ als 60°-Winkel erkennen. Welcher ist es? Und wie geht die vollständige Begründung?

Und wie geht es danach weiter? Wie kann man für weitere Winkel bei $\begin{align*} F \end{align*}$ die 60° nachweisen?

29.05.2018, 09:10

HAL 9000

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Ohne den Thread vollständig verfolgt zu haben, eine kleine Anmerkung noch zur etwas leichtsinnigen Problemformulierung im Eröffnungsposting (kann man auch alles detaillierter nachlesen, wenn man Leopolds Hinweis zu Fermatpunkt folgt):

Es sollte noch vorausgesetzt werden, dass keiner der Dreiecksinnenwinkel größer oder gleich $\begin{eqnarray*} 120^{\circ} \end{eqnarray*}$ ist. Andernfalls liegt nämlich der Fermatpunkt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ außerhalb des Dreiecks und ist im Fall o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \gamma>120^{\circ} \end{eqnarray*}$ auch nur Schnittpunkt der Strecken $\begin{eqnarray*} AA' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BB' \end{eqnarray*}$ , wobei die Strecke $\begin{eqnarray*} CC' \end{eqnarray*}$ nicht durch diesen Schnittpunkt verläuft, wohl aber die Gerade (!) $\begin{eqnarray*} CC' \end{eqnarray*}$ .

29.05.2018, 12:29

masso23

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Also nochmal:

Wir wissen das der rote Winkel 60 grad sein muss, denn hier haben wir ein gleichseitiges Dreieck und nach a) hat jeder Winkel in einem Gleichseitigen Dreieck die größe pi/3.
Da wir nun wissen das dieser Winkel 60 grad beträgt.
Nun muss nach dem Umfangswinkelsatz der grüne Winkel auch 60 grad betragen. Der Winkel der auf der anderen Seite von grünen Winkel liegt muss auch 60 grad betragen wegen dem Scheitelwinkelsatz.
Wie gehts nun weiter?

29.05.2018, 12:42

Leopold

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So ist es richtig.

Jetzt nimm eine andere geeignete Seite des Dreiecks $\begin{align*} A'BC \end{align*}$ in den Blick. Auf! Etwas Bewegung ... so kurz vorm Ziel ...

29.05.2018, 13:14

masso23

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Mit der selben begründung ist nun der Blaue Winkel auch 60Grad. ( Gleichseitiges Dreieck)
So ist nachdem Umfangswinkelsatz der rote Winkel ebenso 60 grad und der dazugehörige Scheitelwinkel genauso.
Wie kriege ich den letzten unteren Winkel ?

29.05.2018, 14:24

HAL 9000

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Falls du mit dem "unteren Winkel" den Winkel $\begin{eqnarray*} \angle C'FB \end{eqnarray*}$ meinst, da hast du doch gleich mehrere alternative Begründungsmöglichkeiten zur Auswahl:

1) Über die Winkelsumme $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ (gestreckter Winkel!).

2) Statt Sehnenviereck $\begin{eqnarray*} BA'CF \end{eqnarray*}$ betrachte Sehnenviereck $\begin{eqnarray*} AC'BF \end{eqnarray*}$ .

29.05.2018, 16:14

masso23

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Hallo Hal

Wie stellst du dir die 1) vor ? Um die Winkelsumme zu benutzen brauche ich ja bereits 2 bekannte Winkel. Diese sind doch allerdings nicht bekannt unglücklich

29.05.2018, 16:22

HAL 9000

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Ähem, ich hatte gedacht, du hast durch deine Überlegungen im gelben Kreis bereits $\begin{eqnarray*} \left| \angle A'FC \right| = \left| \angle BFA' \right| = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ begründet? Und $\begin{eqnarray*} \angle A'FC, \angle BFA', \angle C'FB \end{eqnarray*}$ bilden zusammengenommen den gestreckten Winkel $\begin{eqnarray*} \left| \angle C'FC \right| = 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ , somit sollte durch Differenzbildung

$\begin{eqnarray*} \left| \angle C'FB \right| = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$

doch klar sein!!!

29.05.2018, 17:12

Masso23

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achsoo ja stimmt. Das sind ja nebenwinkel diese ergänzen sich zu 180 grad. Vielen Dank Hal!
Endlich wurde die Aufgabe bearbeitet. Dankeschön

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