Dreieck

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masso23 Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe die folgende aufgabe.



Meine Ideen:
Zu a) Ich scheitere schon hier...

Es gilt a+b+c= pi
2a+c=pi wie soll ich nun zeigen das der innenwinkel gleich pi/3 ist ?
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck
a) wenn alle seiten gleich lang sind also a=b=c so sind die Winkel alpha=beta=gamma gleich groß.
Somit folgt die winkel sind 1/3pi aber mit welchem Satz folgt:
Die seiten sind gleich lang daraus folgt die winkel sind gleich lang?
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck
Zitat:
Original von masso23
a) wenn alle seiten gleich lang sind also a=b=c so sind die Winkel alpha=beta=gamma gleich groß.
Somit folgt die winkel sind 1/3pi aber mit welchem Satz folgt:
Die seiten sind gleich lang daraus folgt die winkel sind gleich lang?

Winkel sind nie gleich lang unglücklich

wenn du a) unbedingt beweisen mußt:
zeichne eine Höhe ein und beachte die Symmetrie
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck
Zitat:
Original von masso23
a) wenn alle seiten gleich lang sind also a=b=c


Dies für richtig zu halten, gibt es keinen Grund.

Verwende stattdessen den sws-Kongruenzsatz für die Dreiecke und . Untersuche zuvor in den Dreiecken die Winkel bei .
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck
Hallo Leopold und Riwe,

ich meine natürlich die Winkel sind gleich groß.
Ich denke das reicht dann zu a) wenn das so richtig ist.

zu b) kann ich hier den (sss) Kongruenzsatz benutzen ? Man sieht eindeutig das alle seiten gleich lang sind und somit müssen die Winkel CA‘A und CBB‘ kongruent sein oder ?
Masso23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieck
Achso Leopold ich verstehe du meinst sowie ich die a) gemacht habe ist es falscj.
Ich verstehe aber nicht warum?
In a) steht: Die größe der Innenwinkel bei einem GLEICHSEITIGEN dreieck ist pi/3.
Ein gleichseitiges dreieck bedeutet doch genau die Eigenschaft das a=b=c ist verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ABC ist nicht als gleichseitig vorausgesetzt, nur die nach außen aufgesetzten Dreiecke. Es geht hier übrigens um den Fermat-Punkt. Du kannst ja mal danach googeln.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe die Aufgabe irgendwie anders:
Wir sollen ja nicht zeigen das, dass Dreieck ABC gleichseitig ist.
Sowie ich es verstanden habe:
Wir sollen zeigen das Allgemein für ein gleichseitiges Dreieck gilt: alle Winkel sind gleich groß und zwar 1/3*pi.

a): Die Größe der Innenwinkel eines gleichseitigen Dreieck beträgt 1/3*pi

Ich denke nun das dies gezeigt werden soll.
Anschließend soll b),c).... gezeigt werden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja;
wobei a) eigentlich trivial ist, du brauchst doch bloß die Winkelsumme (180°) durch 3 teilen, wenn alle drei Seiten gleich lang sind ... (60°) (bzw. bei riwe nachsehen)
Nochmals: Dies gilt NICHT für das Dreieck ABC, sondern nur für die dort angehängten gleichseitigen Dreiecke.

Fahre nun so fort, wie es Leopold schon beschrieben hat ...

mY+
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt für die b) ? Wenn ja: Könnte man nicht b) mit (sss) kongruenzsatz zeigen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, masso23! Ich habe a) für solch eine Trivialität gehalten, daß ich es gar nicht beachtet, sondern gleich mit b) weitergemacht habe, glaubend, es sei a). Mein Lösungsvorschlag mit dem sws-Kongruenzsatz bezieht sich also auf b).
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso nicht schlimm Leopold. Ich war halt nur sehr verwirrt aber jetzt hat sich das ja geklärt.
Also zu b)

Wir können also nicht einfach sagen, das alle seiten gleich lang sind?

Man sieht doch:

AC = B‘C
AA‘ = B‘B
Und CB =CA‘

Also sind doch alle seiten der 2 dreiecke gleich oder was übersehe ich?

Mit sws: die seiten AC= B‘C und CB=CA‘ sind gleich der Winkel ACA‘ und BCB‘ sollen nun gleich groß sein woher weiß man das ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von masso23
Man sieht doch:

AC = B‘C
AA‘ = B‘B
Und CB =CA‘


Nein, das Rote "sieht man nicht" (was nicht heißt, daß es falsch ist, nur taugt es hier nicht als Begründung).

Zitat:
Original von masso23
Mit sws: die seiten AC= B‘C und CB=CA‘ sind gleich der Winkel ACA‘ und BCB‘ sollen nun gleich groß sein woher weiß man das ?


Genau um diese Winkel geht es. Bestimme jeden als Summe zweier Winkel. Hinschauen!
(Bitte bemühe dich um korrekte deutsche Grammatik.)
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe jetzt warum der Kongruenz Satz (sss) nicht funktioniert.
Hm ich kann es nicht erkennen wie ich den Winkel bei C berechnen kann.
Ich dachte zunächst einmal an den Summenwinkelsatz also an:

alpha+ beta+gamma= pi aber alpha und beta kenne ich nicht.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Vermutung:

Wir kennen den Winkel B‘AC= pi/3. Der Winkel CAA‘ ist ein nebenwinkel zum Winkel B‘AC also gilt. Nennen wir den Winkel CAA‘ alpha dann gilt:
pi/3 + alpha=pi

Daraus folgt alpha= 2pi/3

Analog für den Winkel CA‘A. Nennen wir diesen Winkel beta:


pi/3+beta=pi

Daraus folgt beta = 2pi/3

Und insgesamt gilt dann für den Winkel ACA‘ :

gamma= pi - 4pi/3
gamma = -1pi/3


stimmt das so?

Genau das selbe würde ich dann auch mit dem Dreieck BCB‘ durchführen. Erwas besseres fällt mir leider nicht ein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von masso23
...
Der Winkel CAA‘ ist ein nebenwinkel zum Winkel B‘AC also gilt. Nennen wir den Winkel CAA‘ alpha dann gilt:
pi/3 + alpha=pi

Daraus folgt alpha= 2pi/3
...

Keinesfalls. Diese Winkel ergänzen sich NICHT auf
Deswegen kriegst du ja auch das unsinnige Ergebnis heraus. Was stellst du dir dann eigentlich darunter vor?

mY+
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal zur b):

Das was ich gepostet habe war nicht ganz richtig. Die beiden Winkel bei C lassen sich zu:

ergänzen. Also

. Somit sind die beiden Winkelgrößen

ACA' und BCB' gleich groß. Zusammengefasst gilt:

Der Kongruenzsatz (sws) gilt da:

Die strecke AC stimmt überein mit der strecke B'C, da das Dreieck ACB' gleichseitig ist.
Analog zu den strecken CA' und CB. Da die Winkel ACA' und BCB' gleich groß sind gilt der sws Satz und die Dreiecke sind Kongruent. Somit sind auch die Winkel CA'A und CBB' Kongruent zueinander.

Wie kann ich die C) zeigen ?
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine ergänzung:

Ich habe in meinen vorherigen Beitragen gedacht, dass die Winkel AC'A und ACB' Nebenwinkel sind.
Daher die Aussage: "Diese ergänzen sich zu pi".
Allerdings stelle ich nun fest das dies nicht der Fall ist. Also ergänzen diese sich nicht zur pi und wir haben "nur" die Eigenschaft das sich die beiden Winkel bei C durch berechnen lassen. Somit würde die Winkelgröße gamma trotzdem gleich sein, da bei beiden Winkeln 60 grad dazu addiert wird.

Ich denke so sollte es jetzt endlich stimmen
Masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls nun b) richtig ist würde meine Idee zur c) wie folgt aussehen:

Ich würde versuchen zu zeigen das sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180 grad ergänzen, somit hätte ich gezeigt das dieses Viereck ein Sehnenviereck sein muss.

Ist diese Idee so richtig ?


Wenn ja:

Wir wissen das der Winkel bei BA'C die Größe haben muss.
Wie komme ich nun auf den gegenüberliegenden Winkel ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deiner Korrektur stimmt b) jetzt. Allerdings holperst du dich durch die Fachsprache.

Zitat:
Original von masso23
Der Kongruenzsatz (sws) gilt

Zitat:
Original von masso23
gilt der sws Satz


Der Kongruenzsatz sws gilt immer. Was du meinst und auch so sagen solltest: Der sws-Kongruenzsatz ist anwendbar. Oder noch besser: Die Voraussetzungen des sws-Kongruenzsatzes treffen zu (sind erfüllt).

Zitat:
Original von masso23
Somit würde die Winkelgröße gamma trotzdem gleich sein, da bei beiden Winkeln 60 grad dazu addiert wird.


Auch das ist eine merkwürdige Formulierung. Irgendwie sprichst du die Winkel und an, als wären sie dieselben, und nennst sie beide "gamma". So klingt das jedenfalls. Dabei ist mit dem Folgenden alles gesagt:

Zitat:
Original von masso23
wir haben "nur" die Eigenschaft das sich die beiden Winkel bei C durch berechnen lassen.


Jedes weitere Wort ist zuviel und verundeutlicht statt zu erhellen.

Zu Teil c). Deine Idee ist prinzipiell denkbar. Hier scheint es mir aber anders besser zu gehen. Nach Teil b) besitzen und dieselbe Größe, sagen wir . Betrachte einen geeigneten Faßkreis von .
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast schon Recht. Ich versuche mich präziser auszudrücken.

Leider weiß ich nicht genau was du meinst :/
Werden wir den Zentriewinkel und peripheriewinkel benutzen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Strecke unter einem 90°-Winkel erscheint, dann liegt der Scheitel des rechten Winkels auf dem Thaleskreis der Strecke. Wenn eine Strecke unter einem Winkel erscheint, dann liegt der Scheitel des Winkels auf einem der beiden Faßkreisbögen. Die Faßkreisbögen verallgemeinern also die Thaleshalbkreise.

90°-Peripheriewinkel -> zwei Thaleshalbkreise
-Peripheriewinkel -> zwei Faßkreisbögen
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dann ein Faßkreis betrachten der, die Eckpunkte F, A‘ und B beinhaltet.
Allerdings weiß ich nicht worauf wir hinaus arbeiten. Klar wir wollen zeigen das FABA‘ ein Sehnenviereck ist aber ich verstehe den Ansatz nicht. Kannst du mich vllt aufklären?
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die c) leider nicht unglücklich

Dafür aber die d):

Es soll gezeigt werden das die Winkelgrößen C'CB und AA'B Kongruent sind.

Die Strecke AB = BC' und CB=BA' Nun betrachten wir den Winkel bei B.

Für die Dreiecke gilt jeweils: somit sind die Winkelgrößen C'BC und ABA' gleich groß. Die Voraussetzungen des sws-Kongruenzsatzes sind erfüllt und somit sind die Winkelgrößen C'CB und AA'B Kongruent.

stimmt d) ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von masso23
Ich würde dann ein Faßkreis betrachten der, die Eckpunkte F, A‘ und B beinhaltet.
Allerdings weiß ich nicht worauf wir hinaus arbeiten. Klar wir wollen zeigen das FABA‘ ein Sehnenviereck ist aber ich verstehe den Ansatz nicht. Kannst du mich vllt aufklären?


Die Strecke erscheint von aus unter demselben Winkel wie von aus, wie in b) gezeigt. Ferner liegen die Punkte und auf derselben Seite der Geraden . Damit liegen und auf demselben Faßkreisbogen der Strecke zum Winkel . (Tip: Stelle dir statt einen 90°-Winkel vor und ersetze den Begriff "Faßkreisbogen" durch "Thaleshalbkreis". Dann verstehst du die Argumentation.) Damit liegen die Punkte alle auf einem Kreis, mithin ist ein Sehnenviereck.

Die Sache mit dem Faßkreisbogen ist die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes.

1. Eine Kreissehne erscheint von allen Punkten eines der beiden durch die Sehne bestimmten Bögen stets unter demselben Winkel (Peripheriewinkelsatz).

2. Wird eine Strecke von Winkeln gleicher Größe eingefaßt, so liegen die Scheitel dieser Winkel auf den beiden sogenannten Faßkreisbögen (siehe den Link in meinem vorigen Beitrag).
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

achso ich glaube ich verstehe was du meinst. Eine Frage noch zu c): könnte ich nicht zeigen das ein Sehnenviereck gegeben ist indem ich diesen einzeichne ? Big Laugh


und stimmt die d) aus meinem Beitrag um 18:23 uhr
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

d) ist prinzipiell richtig. Aber es gibt wieder Formulierungsschwächen. Zum Beispiel sprichst du davon, daß irgendwelche Strecken gleich sind. Genauer: Es sind ihre Längen gleich. Man könnte auch sagen: Die Strecken sind kongruent. Auch die Formulierung

Zitat:
Original von masso23
Für die Dreiecke gilt jeweils:


holpert gewaltig. Wieso sprichst du von Dreiecken, wo es doch um Winkel geht? Formuliere präziser.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok tut mir leid ich versuche es jetzt noch einmal.

Es soll gezeigt werden das die Winkelgrößen C'CB und AA'B Kongruent sind.

Die Strecken AB und BC' sind Kongruent zueinander. Genauso die Strecken CB und BA'. Nun betrachten wir die Winkelgrößen C'BC und ABA'.

Für die Winkelgrößen bei B, der Dreiecke CCB und AA'B gilt jeweils: somit sind die Winkelgrößen C'BC und ABA' gleich groß. Die Voraussetzungen des sws-Kongruenzsatzes sind erfüllt und somit sind die Winkelgrößen C'CB und AA'B Kongruent.

So ich hoffe so ist das besser. Ich muss lernen alles viel präziser zu beschreiben, denn so ist nun einmal die Mathematik. Ich werde ab jetzt immer darauf achten. Danke Leopold.

Nun zur e) Wahrscheinlich gilt hier die selbe Argumentation wie bei der C). Also könnte ich deinen Beitrag um 18:28 übernehmen nur diesmal mit C' und A.

Also etwa so:

Die Strecke BF' erscheint von C aus unter dem selben Winkel \phi wie von A' aus, wie in d) gezeigt.
Ferner liegen die Punkte C und A' auf derselben Seite der Geraden BF'. Damit liegen A' und C auf demselben Faßkreisbogen der Strecke BF' zum Winkel \phi-
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube die Winkel Orientierung ist nicht ganz richtig.

(Für die Winkelgrößen bei B, der Dreiecke CCB und AA'B gilt jeweils....) Es sollte CBC' und A'BA heißen (also gegen den Uhrzeigersinn).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Orientierung der Winkel angeht, würde ich mir keine unnötigen Schwierigkeiten aufhalsen. Es geht hier nur um die Größe von Dreiecksinnenwinkeln. Ich würde am Anfang der Lösung festlegen, daß mit oder der Innenwinkel des Dreiecks beim Punkt bezeichnet wird. Dann bist du für das Folgende alle Sorgen los. Es ist also immer die Größe des konvexen Winkelfeldes gemeint.

Zitat:
Original von masso23
Die Strecke BF' erscheint von C aus unter dem selben Winkel \phi wie von A' aus, wie in d) gezeigt.
Ferner liegen die Punkte C und A' auf derselben Seite der Geraden BF'. Damit liegen A' und C auf demselben Faßkreisbogen der Strecke BF' zum Winkel \phi-


Nachdem der Buchstabe schon als Peripheriewinkel für die Strecke verbraucht ist, mußt du jetzt einen anderen Bezeichner wählen, zum Beispiel .

1) Begründe als nächstes, warum die Umkreise der Sehnenvierecke in (c) und (e) dieselben sind.
2) Begründe dann, warum und nicht wirklich verschieden sein können (Tip: Untersuche den Schnitt der Gerade mit dem Kreis aus (c) und (e)).
Masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok Danke.

Zu 1)
Die Sehnenvierecke sind die selben, da die Eckpunkte identisch sind. Also C=C F=F‘ usw.


zu 2) Die gerade AA‘ verläuft durch die Punkte F und A‘ verläuft. Die gerade verläuft aber auch durch die Punkte F‘ und A‘. Da A=A‘ ist muss auch F=F‘ sein, da eine gerade durch zwei Punkte eindeutig verläuft.

so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentationen sind nicht klar genug beziehungsweise stimmen nicht.

1) Welche "Eckpunkte"? Genau die richtigen Punkte mußt du nennen. geht gar nicht, da ja gerade noch nicht geklärt ist, ob ist.

2) ist doch Unfug. und sind laut Zeichnung anders definiert. Du kannst diese Bezeichner nicht für weitere Dinge verwenden.
Im übrigen können doch Milliarden Punkte auf einer Geraden liegen, wieso nicht die "vier" Punkte ?
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich merke gerade das ich völlig Unfug gemacht habe.

Zu 1) Also eins ist schonmal sicher: Die Punkte C=C , A‘=A‘ und B=B stimmen überein. Nun fehlt mir hier die weitere Begründungunglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Durch drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, gibt es genau einen Kreis (den Umkreis des Dreiecks aus den drei Punkten).
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

achso somit müssen die zwei Umkreise gleich sein.

zu 2)

Könntest du mir hierzu ein Ansatz geben ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von masso23
Zu 1) Also eins ist schonmal sicher: Die Punkte C=C , A‘=A‘ und B=B stimmen überein. Nun fehlt mir hier die weitere Begründungunglücklich


Die Formulierung C=C und so weiter ergibt doch keinen Sinn. C ist immer gleich C, genau so, wie m immer gleich m und immer gleich ist. Was du sagen willst, ist Folgendes:

Wir reden von zunächst zwei Kreisen, dem Umkreis des Sehnenvierecks und dem Umkreis des Sehnenvierecks . Und jetzt argumentiert man so: Die Punkte liegen auf beiden Kreisen. Da ein Kreis aber durch drei Punkte bereits festliegt, handelt sich bei den beiden Umkreisen um denselben Kreis.
Ferner folgt: Die fünf Punkte liegen alle auf demselben Kreis.

Zu 2).
Wie viele gemeinsame Punkte können ein Kreis und eine Gerade höchstens besitzen?
Jetzt betrachte die Gerade und den Kreis, von dem die ganze Zeit die Rede ist, ich nenne ihn einmal . Die Punkte und liegen auf jeden Fall auf , da sie als Schnittpunkte von mit etwas anderem definiert waren. Sie liegen aber auch auf , und zwar nach 1). Und dann gibt es auch noch den Punkt ...
Jetzt füge alles richtig zusammen.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also 1) wurde schon bearbeitet von dir danke.

Zu 2) Eine gerade und ein Kreis können höchstens 2 Schnittpunkte haben. Betrachten wir nun die gerade g und den kreis k. Die Punkte F und F‘ liegen aufjedenfall auf der gerade g, denn diese waren als Schnittpunkt von g und jeweils mit zwei anderen geraden definiert.
Die Punkte F und F‘ liegen aber auch auf dem Kreis k ( wegen 1). Dann gibt es noch den Punkt A‘ der auch auf der geraden g und auf dem kreis k liegt, da dies der Fall ist muss F=F‘ sein.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

denn wäre F ungleich F‘ so würden diese nicht auf demselben Kreis liegen. Nach 1) ist dies aber der fall.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Laß den Nachtrag weg. Die erste Begründung trifft es.

Jetzt ist also . Es ist damit so, wie es die Zeichnung aus deinem ersten Beitrag suggeriert: Die Geraden treffen sich in einem gemeinsamen Punkt .

Jetzt fehlt noch g). Gehe wieder in den Kreis und wende in ihm den Peripheriewinkelsatz für geeignete Sehnen an.
masso23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal den Kreis eingezeichnet.
Ich weiß das nach dem Peripheriewinkelsatz die Peripheriewinkel in einer halbebenen alle gleich groß sind.
Woher wissen wir aber das diese alle pi/3 sind ? Wie sieht das ganze in unserem Kreis k aus?
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