Quotientenring R[x]/J

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenring R[x]/J
Hi, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Im Ring ist die Menge ein Ideal, und der Quotient ist ein kommutativer Ring mit Eins. und sind auch -Vektorräume. Daher ist der Quotient auch ein -Vektorraum.

(a)
Zeigen Sie: hat als -Vektorraum die Dimension 3, und ist eine Basis. Geben Sie die Multiplikationstabelle für diese Basis an. Produkte von Basiselementen sollen natürlich als Linearkombinationen der Basiselemente geschrieben werden.

(b)
Geben Sie zwei Elemente an, die erfüllen. (Daher kein Körper)

(c)
Nach Aufgabe 1 (Satz 3.17 der Vorlesung) hat man kanonische Bijektionen zwischen den Mengen

Weil keine Körper ist (siehe b), hat nach Satz 3.19 der Vorlesung die linke Menge mehr als nur die zwei Elemente und . Finden Sie (mit Beweis) je vier Elemente in beiden Mengen. (Ohne Beweis: die beiden Mengen haben nur je vier Elemente.)

(d)
Zeigen Sie, dass für gilt:

Meine Ideen:
...kommen ins erste Kommentar, da man die Länge der Aufgabenstellung an sich allein schon fast als "Mittelfinger des Dozenten" auffassen kann. Ich hoffe auf Hilfe, Danke smile
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Ideen:


zu (a):
ist gerade der Faktorring mod . Für bedeutet dies: , wobei ist. Also mod

Somit hat die geforderte Basis und da diese aus 3 Elementen besteht, ebenfalls die Dimension 3.

Tabelle kann ich hier nicht einfügen, darum schreib ich sie listenmäßig auf:
, , ,
, ,

zu (b):
Es sind . Allerdings ist

Also

zu (c):
Hier hätte ich jetzt vermutet, das die beiden übrigen Ideale von die Polynome vom Grad 1 und 0 sind. Ist ein Ideal in mit , dann folgt für :




Also bekommen wir Ideale sowie . Ist jetzt dann folgt für das ist für

und wir bekommen Ideale sowie

Noch zu zeigen:
Sei d.h. für , so gilt:



Also gibt's zusammen mit den beiden trivialen Idealen, insgesammt 4 Stück.

zu (d):
keine Ahnung...
 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner eine Idee? unglücklich
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann zwar verstehen, das mir hier bei der **** Aufgabe keiner helfen will, ist aber trotzdem schade! Ich schreib mal noch hin was ich zur (d) hab:

zur (d):
Sei und



für konstante Polynome gilt dies auch. Sei nun dann ergibt sich:



und da gewählt wurde, gilt .
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a) und b) sieht für mich richtig aus.
bei c) sehe ich nicht, warum ein Ideal ist. Z.B. ist doch verwirrt
Ich würde mal den Nullteiler aus b) in Stellung bringen.
Der Teil von d) sieht auch richtig aus.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Danke für die Antwort! Gott

wenn 3 von 4 richtig aussehen bin ich schonmal erleichtert Big Laugh
Meinst du ich komme über die Nullteiler aus b) auf die Ideale bei c)?
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir die c) nochmal angeschaut, und bist du sicher das kein Ideal ist? Es ist doch wobei die Restklassen darstellt? Dann wäre doch für mod mit :

also für oder?
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Die Ideale von sind richtig. Dann ist .

ist für mich auf den ersten Blick mal eine Teilmenge von . Und selbst wenn ich das mit Restklassen in J interpretiere, ist das kein Ideal in J, weil eben ist. Was du meinst, sind hier wohl Restklassen bzgl und dann stimmt es.

Was ich noch nicht sehe, ist im Teil d) die Richtung
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fürs Antworten. Hm, jetzt bin ich richtig verwirrt. Was genau ist den jetzt in den Idealen drinne? Das die von so einer Form sind versteh ich ja, aber was ist mit den ? und sind das bei (d) nicht alles Äquivalenzen?
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Ich habe jetzt nochmal über Teil c) nachgedacht und glaube, dass du falsch liegst. Die beiden gesuchten Ideale in R sind und .

sind die Vielfachen von und daraus werden wegen die Vielfachen von heraus dividiert.
Jedes Vielfache von kann man in der Form mit einem Polynom p und einer Konstanten r schreiben. Dann ist die zugehörige Restklasse in die Menge
und besteht aus allen Mengen dieser Form mit .

Für geht es ganz ähnlich. Man bekommt Restklassen der Form
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