Senkrechte Stange im Ausstellungsraum

26.05.2018, 16:51

Kääsee

Senkrechte Stange im Ausstellungsraum

Hallo, da bin ich schon wieder mit einer neuen Aufgabe, bei der ich mit einer anderen Herangehensweise als in der Musterlösung zu einem anderen Ergebnis komme und mich frage, woran es scheitert.

Ich habe einen würfelförmigen Ausstellungsraum gegeben, in dem ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt ist (es soll "straff" sein, d.h. nicht durchhängen, siehe Anhang).
In vorausgehenden Teilaufgaben, sollte man Eckpunkte, Geradengleichungen, Ebenen usw. bestimmen. Da meine Ergebnisse da aber noch mit der Musterlösung übereinstimmen, erspare ich euch das mal und schreibe alles auf, was relevant ist Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A(8|0|0), B(8|8|0), C(0|8|0), E(8|0|8), F(8|8|8), G(0|8|8), H(0|0|8), M_1(8|0|4), M_2(4|0|8) \end{eqnarray*}$
Ebene des Segeltuchs $\begin{eqnarray*} S: 2x_1-x_2+2x_3=24 \end{eqnarray*}$
Geradengleichung der Diagonalen AC: $\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun lautet die Aufgabenstellung wie folgt:

Zitat:

Auf der Diagonalen AC steht eine 6m hohe Stange senkrecht auf dem Boden. Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch. In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange?

Dabei soll 1LE in Wirklichkeit 1m entsprechen.
Ich dachte mir, ich gehe dabei so vor, dass ich von den Punkten der Geraden g "allgemein" den Abstand zur Ebene bestimme, diesen mit 6 gleichsetze und dann den passenden Parameter heraus bekomme.
Dazu habe ich also zunächst S in die Hessesche Normalenform gebracht:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix}-8=0 \end{eqnarray*}$ .
Ich hoffe, ich hab nicht da schon Mist gebaut Big Laugh

Der Normalenvektor hat ja den Betrag 3.

So, und dann hab ich den Abstand d wie folgt berechnet:
$\begin{eqnarray*} d=\left|(8-8\lambda)\cdot\frac{2}{3}+8\lambda\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-8\right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left|\frac{16-16\lambda-8\lambda-24}{3}\right|=\left|\frac{-8-24\lambda}{3}\right|=\frac{|8+24\lambda|}{3} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} 0 \leq\lambda\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, damit sich die Stange auch innerhalb des Raumes befindet, können die Betragsstriche entfallen.
Es muss also gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{8+24\lambda}{3}=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8+24\lambda=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{5}{12} \end{eqnarray*}$

Dies engesetzt in die Geradengleichung ergibt:
$\begin{eqnarray*} \vec{OP}=\begin{pmatrix} \frac{14}{3}\\ \frac{10}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Lösung gehen sie so vor, dass sie die Gerade g um 6LE nach oben "verschieben" (da die Seiten des Würfels ja schön parallel zu den Koordinatenebenen liegen) und mit der Ebene schneiden, also $\begin{eqnarray*} h: \vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , eingesetzt in die Ebenengleichung ergibt $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .
Den Punkt $\begin{eqnarray*} Q\left(\frac{20}{3}|\frac{4}{3}|6\right) \end{eqnarray*}$ , den man durch einsetzen in h erhält, verschiebt man dann einfach wieder 6LE in nach "unten", um P zu erhalten.

Das stimmt ja nicht mit meiner Rechung überein.
Ich vermute, es könnte daran liegen, dass ich mit meiner Herangehensweise ja einen Abstand mittels einer Gerade bestimme, die senkrecht auf der Ebenen steht, weil der Abstand ja der kürzeste Weg zur Ebenen ist. Jedoch bräuchte ich eine Gerade, die senkrecht auf der Diagonalen steht.
Könnte das das Problem sein? verwirrt

LG und kommt gut ins Wochenende!

26.05.2018, 18:14

mYthos

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Ja, die Verwechslung des Normalabstandes mit dem senkrechten Abstand ist das Problem und dein Fehler.
-----------
Alternativer Lösungsweg:

Das untere Ende der Stange liegt ja auf $\begin{eqnarray*} g = (AC) \end{eqnarray*}$ , dies sei der Punkt X1, dafür gilt $\begin{eqnarray*} X_1(8-\lambda; \lambda; 0) \end{eqnarray*}$
Der Richtungsvektor von g wurde auf (-1; 1; 0) abgekürzt, so rechnet es sich besser als mit (-8; 8; 0) (!)

In $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ errichte die Senkrechte (Normale auf die Grundfläche des Würfels):
$\begin{eqnarray*} n: X = (8-\lambda; \lambda; 0) + t \cdot (0; 0; 1) \end{eqnarray*}$ und schneide diese mit der Ebene $\begin{eqnarray*} (2; -1; 2) \cdot X = 24 \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausgedrückt, und obere Ende der Stange $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ (bei dir der Punkt Q) in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Setze letztendlich $\begin{eqnarray*} X_1X_2 = 6 \end{eqnarray*}$ , damit bekommst du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig beide Endpunkte der Stange.
Dass t = 6 ist, muss ja schon aus der Aufgabenstellung hervorgehen ... (auch davon ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu ermitteln).

[ $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac 4 3; \ t = 6 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

26.05.2018, 18:38

Kääsee

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Wow, voll toller Lösungsweg! Danke dir mal wieder, dass du dich immer meiner Dusseligkeit annimmst, lieber mYthos!

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