Äquivalenzklassen & Isomorphie

27.05.2018, 16:24

rulof21

Äquivalenzklassen & Isomorphie

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich bräuchte Eure Hilfe bei diesen beiden Fragen smile

:
Z= die ganzen Zahlen; (Z,+) normale gruppe
~:= g~h ist äquivalent , wenn g~h^-1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z

Was ist dann Z/~ ?

2.Frage
Kann es eine Isomorphie geben, selbst wenn zwei Gruppen verschiedener Mächtigkeiten sind?
In diesen Fall G_n:= {0,1,...n-1}
*:= a*b | a+b wenn a+b<n
| a+b-n wenn a+b größer oder gleich n
von (G_n,*) auf (Z/~,+)

Meine Ideen:
1.Frage)
g ist theoretische zu allen Elementen äquivalent, denn Z ist ja abgeschlossen, deshalb müsste es nur eine Äquivalenzklasse geben, oder nicht?

2.Frage)
Wenn Z/~ nur eine Äquivalenzklasse besitzt, dann wäre es ja nicht mehr injektiv.
Ohne richtig zu wissen, was Z/~ kann ich dazu nicht viel sagen.

Hoffe auf euere Hilfe smile

Grüße

27.05.2018, 19:53

Elvis

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Ich verstehe deine Relation ~ nicht. Diese kann nicht durch sich selbst definiert sein. Es gelingt mir auch nicht, daraus eine sinnvolle Äquivalenzrelation zu machen.

27.05.2018, 20:29

IfindU

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Vermutlich meint man $\begin{eqnarray*} g \sim h \iff gh^{-1} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wenigstens sollte $\begin{eqnarray*} g \sim h \iff h | g \end{eqnarray*}$ ja eine Äquivalenzelation sein.

Edit: Wenigstens reflexiv und transitiv. Wer braucht schon Symmetrie? Big Laugh

27.05.2018, 21:09

rulof21

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Erstmal vielen Dank für eure Antworten. smile

Tut mir leid ich habe mich etwas undeutlich ausgedrückt.
Ich meinte natürlich
; $\begin{eqnarray*} g \sim h\Longleftrightarrow g+h^{-1}\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ,wobei + die natürliche Addition ist.
Ich hoffe, dass Ihr mir jetzt helfen könnt. smile

Grüße

27.05.2018, 21:11

rulof21

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Zitat:

Original von IfindU
Vermutlich meint man $\begin{eqnarray*} g \sim h \iff gh^{-1} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wenigstens sollte $\begin{eqnarray*} g \sim h \iff h | g \end{eqnarray*}$ ja eine Äquivalenzelation sein.

Fast richtig erraten smile

28.05.2018, 07:11

IfindU

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Deins ist noch weniger eine Äquivalenzrelation. Deine Relation ist weder symmetrisch noch reflexiv.

28.05.2018, 15:28

rulof21

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Zitat:

Original von IfindU
Deins ist noch weniger eine Äquivalenzrelation. Deine Relation ist weder symmetrisch noch reflexiv.

Wieso denn nicht $\begin{eqnarray*} g,h \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind ja beliebig
Dann nimmt man für h=g
und wir erhalten die reflexivität g~g
Symmetrie kann man auch zeigen, lasse ich jetzt aber außen vor.

smile

29.05.2018, 09:42

Elvis

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Das ist für $\begin{eqnarray*} g=2\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sicher falsch, denn $\begin{eqnarray*} 2+\frac 1 2\notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Also nicht reflexiv.
$\begin{eqnarray*} g=2,h=1\in \mathbb Z\Rightarrow g+\frac 1 h=2+1\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} h+\frac 1 g=1+\frac 1 2\notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht symmetrisch.
Die Transitivität kann man beweisen, ich sehe aber nicht, was sie nützt. Als zweites Element $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ des Paares $\begin{eqnarray*} (g,h)\in \end{eqnarray*}$ ~ kommen nur die Einheiten $\begin{eqnarray*} h=\pm 1 \end{eqnarray*}$ infrage.

29.05.2018, 18:18

izvbcitw

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Vielleicht ist mit $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ auch das inverse Element von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bezüglich der Gruppe, also $\begin{eqnarray*} -h \end{eqnarray*}$ gemeint. Dann wäre natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/\hspace{-3pt}\sim\,\, = \{\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner zweiten Frage: ein einfaches Zählargument zeigt, dass es so etwas nicht geben kann. Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi: A \to B \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist folgt aus der Injektivität $\begin{eqnarray*} |A| \le |B| \end{eqnarray*}$ , aus der Surjektivität folgt $\begin{eqnarray*} |A| \ge |B| \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \end{eqnarray*}$ impliziert.

30.05.2018, 13:35

rulof21

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Erstmal Vielen Dank für Eure Antworten smile

Zitat:

Original von izvbcitw
Vielleicht ist mit $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ auch das inverse Element von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bezüglich der Gruppe, also $\begin{eqnarray*} -h \end{eqnarray*}$ gemeint. Dann wäre natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/\hspace{-3pt}\sim\,\, = \{\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner zweiten Frage: ein einfaches Zählargument zeigt, dass es so etwas nicht geben kann. Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi: A \to B \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist folgt aus der Injektivität $\begin{eqnarray*} |A| \le |B| \end{eqnarray*}$ , aus der Surjektivität folgt $\begin{eqnarray*} |A| \ge |B| \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \end{eqnarray*}$ impliziert.

Genau das war mein Problem, da $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ auch das inverse Element von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bezüglich der Gruppe, also $\begin{eqnarray*} -h \end{eqnarray*}$ gemeint ist und somit wie du schon sagts $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/\hspace{-3pt}\sim\,\, = \{\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ gelten würde und somit es keinen Isomorphismus geben kann.
Grüße

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