Äquivalenzklassen & Isomorphie

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rulof21 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen & Isomorphie
Meine Frage:
Hallo Leute,
ich bräuchte Eure Hilfe bei diesen beiden Fragen smile :
Z= die ganzen Zahlen; (Z,+) normale gruppe
~:= g~h ist äquivalent , wenn g~h^-1 Z

Was ist dann Z/~ ?

2.Frage
Kann es eine Isomorphie geben, selbst wenn zwei Gruppen verschiedener Mächtigkeiten sind?
In diesen Fall G_n:= {0,1,...n-1}
*:= a*b | a+b wenn a+b<n
| a+b-n wenn a+b größer oder gleich n
von (G_n,*) auf (Z/~,+)

Meine Ideen:
1.Frage)
g ist theoretische zu allen Elementen äquivalent, denn Z ist ja abgeschlossen, deshalb müsste es nur eine Äquivalenzklasse geben, oder nicht?

2.Frage)
Wenn Z/~ nur eine Äquivalenzklasse besitzt, dann wäre es ja nicht mehr injektiv.
Ohne richtig zu wissen, was Z/~ kann ich dazu nicht viel sagen.

Hoffe auf euere Hilfe smile
Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Relation ~ nicht. Diese kann nicht durch sich selbst definiert sein. Es gelingt mir auch nicht, daraus eine sinnvolle Äquivalenzrelation zu machen.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich meint man . Wenigstens sollte ja eine Äquivalenzelation sein.

Edit: Wenigstens reflexiv und transitiv. Wer braucht schon Symmetrie? Big Laugh
rulof21 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für eure Antworten. smile
Tut mir leid ich habe mich etwas undeutlich ausgedrückt.
Ich meinte natürlich
; ,wobei + die natürliche Addition ist.
Ich hoffe, dass Ihr mir jetzt helfen könnt. smile
Grüße
rulof21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Vermutlich meint man . Wenigstens sollte ja eine Äquivalenzelation sein.
Fast richtig erraten smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Deins ist noch weniger eine Äquivalenzrelation. Deine Relation ist weder symmetrisch noch reflexiv.
rulof21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Deins ist noch weniger eine Äquivalenzrelation. Deine Relation ist weder symmetrisch noch reflexiv.


Wieso denn nicht sind ja beliebig
Dann nimmt man für h=g
und wir erhalten die reflexivität g~g
Symmetrie kann man auch zeigen, lasse ich jetzt aber außen vor.

smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist für sicher falsch, denn . Also nicht reflexiv.
, aber . Das ist nicht symmetrisch.
Die Transitivität kann man beweisen, ich sehe aber nicht, was sie nützt. Als zweites Element des Paares ~ kommen nur die Einheiten infrage.
izvbcitw Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist mit auch das inverse Element von bezüglich der Gruppe, also gemeint. Dann wäre natürlich .

Zu deiner zweiten Frage: ein einfaches Zählargument zeigt, dass es so etwas nicht geben kann. Wenn ein Isomorphismus ist folgt aus der Injektivität , aus der Surjektivität folgt , was impliziert.
rulof21 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Vielen Dank für Eure Antworten smile
Zitat:
Original von izvbcitw
Vielleicht ist mit auch das inverse Element von bezüglich der Gruppe, also gemeint. Dann wäre natürlich .

Zu deiner zweiten Frage: ein einfaches Zählargument zeigt, dass es so etwas nicht geben kann. Wenn ein Isomorphismus ist folgt aus der Injektivität , aus der Surjektivität folgt , was impliziert.


Genau das war mein Problem, da auch das inverse Element von bezüglich der Gruppe, also gemeint ist und somit wie du schon sagts gelten würde und somit es keinen Isomorphismus geben kann.
Grüße
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