DGL lösen

27.05.2018, 16:39	ChTl995	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen Meine Frage: Hey, ich möchte folgende DGL lösen: $\begin{eqnarray} \dot{\omega} = -\gamma\cdot\omega^2 -\beta\cdot\omega - \alpha \end{eqnarray}$ Als Lösung bekomme ich dafür: $\begin{eqnarray} \omega = \frac{\delta\cdot\tan\left(\frac{1}{2}\left(c_1 \cdot\delta-\delta\cdot t\right)\right)-\beta}{2\gamma} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \delta = \sqrt{4\alpha\gamma-\beta^2} \end{eqnarray}$ Nun zu meinem eigentlichen Problem. In dem Experiment für das ich die DGL lösen soll, sollte unter der Bedingung, dass Beta nicht dominiert und Delta reell ist mit $\begin{eqnarray} \omega(t=0)=\omega_0 \end{eqnarray}$ folgendes herauskommen: $\begin{eqnarray} \omega = \frac{\delta\cdot\tan\left(\frac{1}{2}\left(\arctan\left(\frac{2\gamma}{\delta}\cdot\omega_0+\frac{\beta}{\delta}\right)-\delta\cdot t\right)\right)-\beta}{2\gamma} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Damit ich auf diese Lösung komme, müsste meine Konstante ja folgendes sein: $\begin{eqnarray} c_1 = \frac{\arctan\left(\frac{2\gamma}{\delta}\cdot\omega_0+\frac{\beta}{\delta}\right)}{\delta} \end{eqnarray}$ Aber wie komme ich mit den gegebenen Bedingungen darauf?
27.05.2018, 18:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einer Konstanten $\begin{align} c \end{align}$ habe ich $\begin{align} \omega = \frac{1}{2 \gamma} \left( -\beta + \delta \, \tan \left( c - \frac{1}{2} \delta t \right) \right) \end{align}$ als allgemeine Lösung der Differentialgleichung erhalten. Ersetzt man $\begin{align} t \end{align}$ durch $\begin{align} 0 \end{align}$ und $\begin{align} \omega \end{align}$ durch $\begin{align} \omega_0 \end{align}$ , erhält man $\begin{align} \omega_0 =\frac{1}{2 \gamma} \left( - \beta + \delta \, \tan c \right) \end{align}$ Wegen der Periodizität der Tangensfunktion kann man $\begin{align} \|c\| < \frac{\pi}{2} \end{align}$ wählen. Dann ergibt die Auflösung nach $\begin{align} c \end{align}$ : $\begin{align} c = \arctan \frac{\beta + 2 \gamma \omega_0}{\delta} \end{align}$
27.05.2018, 19:17	ChTl995	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort Das mit der Konstanten kann ich jetzt nachvollziehen, nur sehe ich nicht wie du auf die allgemeine Lösung der DGL kommst. Die Lösung ergibt sollte sich doch wie folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\dot{\omega}}{-\alpha-\gamma\omega^2-\beta\omega} = 1 \end{eqnarray}$ Dann integriere ich auf beiden Seiten: $\begin{eqnarray} \int\frac{\dot{\omega}}{-\alpha-\gamma\omega^2-\beta\omega}\mathrm{dt} = \int 1\mathrm{dt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \int\frac{\mathrm{d}\omega}{-\alpha-\gamma\omega^2-\beta\omega} = \int 1\mathrm{dt} \end{eqnarray}$ Nach dem integrieren erhält man dann: $\begin{eqnarray} \frac{2\cdot\arctan\left(\frac{\beta + 2\gamma\omega}{\sqrt{4\alpha\gamma-\beta^2}}\right)}{\sqrt{4\alpha\gamma-\beta^2}} = t+c_1 \end{eqnarray}$ Auflösen nach Omega und die Wurzeln als Delta zusammenfassen liefert dann: $\begin{eqnarray} \omega = \frac{1}{2\gamma}\left(\delta\tan\left(\frac{1}{2}\delta(t+c_1)\right)-\beta\right) \end{eqnarray}$ Dann bekomme ich wenn ich die Konstante lösen möchte: $\begin{eqnarray} \omega_0 = \frac{1}{2\gamma}\left(\delta\tan\left(\frac{1}{2}\delta c_1\right)-\beta\right) \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt dann: $\begin{eqnarray} c = \frac{2\cdot\arctan\left(\frac{2\omega_0\gamma+\beta}{\delta}\right)}{\delta} \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler?
28.05.2018, 10:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einmal mit einem CAS mit deiner Lösung die Probe gemacht und $\begin{align} - \gamma \omega^2 - \beta \omega - \alpha = - \dot \omega \end{align}$ erhalten. Irgendwo scheinst du einen Vorzeichenfehler gemacht zu haben. Wo, kann ich nicht sagen, da du den Lösungsweg nicht aufgeschrieben hast.
28.05.2018, 11:22	ChTl995	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab den Fehler die Nacht nach langem hin und her gefunden. Beim Integrieren hatte ich einen Fehler im Vorzeichen gemacht, komme aber jetzt auf die gleiche Lösung wie du. Danke nochmal.

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