Quadratische Formen

27.05.2018, 20:36	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Formen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Finden Sie eine maximale Anzahl quadratischer Formen auf R^4, die paarweise nicht äquivalent sind. Meine Ideen: Ich weiß, wann quadratische Formen äquivalent sind. Leider verstehe ich die komplette Aufgabe nicht. Wie findet man denn eine "maximale Anzahl quadratischer Formen auf R^4, die paarweise nicht äquivalent sind"?
28.05.2018, 13:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann sind quadratische Formen äquivalent ? Wenn diese Äquivalenz quadratischer Formen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Formen definiert, wie es die Namensgebung trefflich suggeriert, dann gehört zu dieser Äquivalenzrelation eine Klasseneinteilung der Menge der quadratischen Formen. In der Aufgabe wird dann sicherlich nach der Anzahl der Klassen gefragt.
28.05.2018, 20:27	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das ist einleuchtend. Ich müsste also die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation von der Äquivalenz der quadratischen Formen bestimmen. Wahrscheinlich müsste ich dann erstmal zeigen, dass das die Äquivalenz von quadratischen Formen eine Äquivalenzrelation ist, was ich spontan gesagt über die Kongruenz von den zugehörigen Matrizen machen würde. Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich genau die Äquivalenzklassen bestimmen soll...
29.05.2018, 09:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet die Kongruenz der zugehörigen Matrizen ? Es ist schön, wenn du alles weißt, aber es wäre noch schöner, wenn du mir sagen würdest, was du weißt, dann könnte ich mitdenken.
29.05.2018, 15:56	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, also, was ich weiß ist: -Alle quadratischen Formen auf K^n sind gegeben durch $\begin{eqnarray} \left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) ->\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq n}^{} a_{ij} x_{i} x_{j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{ij} \in K \end{eqnarray}$ Die zugehörige Matrix hat Diagonaleinträge aii und Einträge aij/2 an den Positionen (i,j) und (j,i), wenn i < j ist. -"Zwei quadratische Formen auf K^n sind genau dann äquivalent, wenn die zugehörigen symmetrischen Matrizen kongruent sind." (Satz aus dem Skript) Ich hoffe, diese Informationen reichen aus, um die Aufgabe zu bearbeiten.
30.05.2018, 13:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss dann auch sagen können, wie die Kongruenz von Matrizen definiert ist. Es hilft ja nichts, wenn man zwei Definitionen auf einander bezieht und keine der beiden kennt. Genug des grausamen Spiels: Wikipedia weiß, was es heißt, dass Matrizen kongruent sind. Und Wikipedia kennt den sylvesterschen Trägheitssatz. Das ist der Schlüssel zur Antwort auf deine Frage. Du musst nur noch die Anzahl verschiedener Trägheitsindices abzählen.
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31.05.2018, 09:38	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sylvesterscher Trägheitssatz, das hat mir gefehlt. Ich käme dann auf 15 paarweise verschiedene quadratische Formen.
31.05.2018, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
15 paarweise nicht äquivalente Formen. Verschiedene Formen gibt es mehr.
31.05.2018, 13:23	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, falsche Formulierung. Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld mit mir.

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