stochastische und fast sichere Konvergenz

28.05.2018, 11:48	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische und fast sichere Konvergenz Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung, wo ich mir noch nicht ganz sicher bin, wie ich vorgehen soll. Gegeben sei ein Intervall $\begin{eqnarray} I_{n,j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} [\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}] \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (J_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist eine Abzählung der Intervallmenge $\begin{eqnarray} \{I_{n,j}\|n\in\mathbb{N},0\leq j<n\} \end{eqnarray}$ und U eine uniform auf [0,1] verteilte Zufallsvariable. In dieser Aufgabenstellung soll ich zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} (1_{J_n}(U))_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ stochastisch gegen Null konvergiert, jedoch nicht fast sicher konvergiert. Zur stochastischen Konvergenz. Diese ist definiert durch: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0:\lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb{P}(\|X_n-X\|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ In dieser Aufgabenstellung, habe ich im allgemeinem n-Intervalle. Dabei kann ich mir eine Abzählung $\begin{eqnarray} (J_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ auswählen. Diese sollte $\begin{eqnarray} k\leq n \end{eqnarray}$ gleich große und gleich wahrscheinliche Intervalle haben. Der Erwartungswert sollte entsprechend $\begin{eqnarray} \frac {k}{n} \end{eqnarray}$ seien. ist hier also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0:\lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb{P}(\|\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}X_i -\frac {k}{n}\|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ ? Zur fast sicheren Konvergenz: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\{\lim_{n\rightarrow \infty} X_n=X\})=\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:\lim_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega)=X(\omega)\}=1 \end{eqnarray}$ . Die fast sichere Konvergenz bezieht sich ja auf die Verteilung. Mein Problem ist nun, dass die Anzahl meiner Intervalle irgendwie nicht endlich ist. Für n=5 hätte ich beispielsweise 5 Intervalle und wenn ich oft genug eines davon beliebig auswähle, so sollte X_n=X seien. Mein Problem hier, besteht darin, wie oft ich denn nun überhaupt ein Intervall aussuchen darf, wenn ich n Intervalle habe. Soll ich n mal n Intervalle aussuchen und damit zeigen, dass die fast sichere Konvergenz sowieso nicht gilt oder soll ich ein m einführen, dass gegen unendlich geht und n fest betrachten?
29.05.2018, 12:03	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stochastische und fast sichere Konvergenz hat sich geklärt
29.05.2018, 14:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh gut, ich hatte gestern antworten wollen, den Thread dann aber doch wieder aus dem Auge verloren. Es waren ja doch eine ganze Menge Missverständnisse und Fehlinterpretationen aus dem Weg zu räumen, die aus deinen obigen Ausführungen herauszulesen waren. Wenn du das inzwischen selber geschafft hast, umso besser. Falls dennoch Nachfragen bleiben, immer raus damit.

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