Richtungsableitung, Stetigkeit, Lineare Abbildung

28.05.2018, 13:06	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung, Stetigkeit, Lineare Abbildung Hallo Matheboard-Team, habe mich mit folgender Aufgabe beschäftigt und wollte prüfen lassen, ob ich alles richtig gemacht habe. Sei $\begin{eqnarray} f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ sonst. Berechnen Sie alle Richtungsableitungen $\begin{eqnarray} D_v f(0,0) \end{eqnarray}$ . Ist f stetig in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} v \rightarrow D_v f(0,0) \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung? 1. Richtungsableitungen Sei $\begin{eqnarray} p=(0,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v=(a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|v\|\| =1 \end{eqnarray}$ . Dann: $\begin{eqnarray} \frac{f(ha,hb)}{h} = \frac{\frac{hah^2b^2}{h^2a^2+h^4b^4}}{h} =\frac{ab^2}{a^2+h^2b^4} \rightarrow_{h\rightarrow 0} \frac{b^2}{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_v f(0,0) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D_v f(0,0) = {b^2}{a} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ 2. Stetigkeit Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} =(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}) mit \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(a_n) = ... = \frac{1}{2} \neq 0 = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray}$ Daraus folgt Unstetigkeit in p. 3. Lineare Abbildung Dann muss gelten: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(p+hv)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(p)+h(f(v))}{h} \end{eqnarray}$ Aber: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(p)+h(f(v))}{h}=f(a,b) = \frac{ab^2}{a^2+b^4} \neq \lim_{h \to 0} \frac{b^2}{a} \end{eqnarray}$ Es folgt: Keine Lineare Abbildung. Vielen Dank für eure Korrekturen
28.05.2018, 13:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Berechnung der Richtungsableitungen ist richtig. Du solltest nur vor der Berechnung unterscheiden, ob $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ . Außerdem hast du $\begin{eqnarray} D_vf(0,0) = \frac{v_2^2}{v_1} \end{eqnarray}$ berechnet, schreibst dann aber, dass es gleich $\begin{eqnarray} v_2^2v_1 \end{eqnarray}$ sei. Bei der Stetigkeit sollte $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f(a_n) ... \neq ... f(\lim_{n\to\infty}a_n) \end{eqnarray}$ stehen, da fehlt rechts das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Bei Punkt 3 verwechselst du die Linearität von $\begin{eqnarray} v\mapsto D_vf(0,0) \end{eqnarray}$ mit jener von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Du musst hier untersuchen, ob die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\to\mathbb R,v\mapsto\begin{cases}\frac{v_2^2}{v_1}\quad & v_1\neq 0\\0\quad &v_1 = 0\end{cases} \end{eqnarray}$ linear ist.
28.05.2018, 14:35	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke Das eine war einfach nur ein Schreibfehler.. Zu Punkt 3: Muss ich da also folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} g((x,y)+a(u,w))=g(x,y)+ag(u,w) \end{eqnarray}$ , wobei für $\begin{eqnarray} (x,y), (u,w) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ die Bedingung $\begin{eqnarray} g: \mathbb R^2 \to \mathbb R v \to ... \end{eqnarray}$ gilt. Also: $\begin{eqnarray} g((x,y)+a(u,w))=\frac{(y+aw)^2}{x+au} \neq \frac{y^2}{x}+\frac{aw^2}{u}=g(x,y)+ag(u,w) \end{eqnarray}$ Also nicht linear?
28.05.2018, 18:09	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir würde das so nicht reichen, wer sagt, dass diese Terme nach Umformung nicht gleich sind? Gib doch einfach ein explizites Gegenbeispiel an.
30.05.2018, 15:51	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast recht, kann ja einfach ein Gegenbeispiel nehmen: Sei $\begin{eqnarray} x = (1,0), y = (1,1), t =2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x+ty) = f(3,2) = \frac{4}{3} \neq 2=f(1,0)+2f(1,1)=f(x)+tf(y) \end{eqnarray}$ Also keine lineare Abbildung

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