Geometrisches oder arithmetisches Mittel einer Funktion

28.05.2018, 18:27

Ludwig19

Geometrisches oder arithmetisches Mittel einer Funktion

Hallo!

Ich habe eine Glockenkurve der Form $\begin{eqnarray*} e^{-(x-b)^2/2(a(p\pm 1)-b)^2} \end{eqnarray*}$ .
(Ohne Normierung!!!)
Nun geht es darum den Mittelwert der Funktion im Intervall a bis b zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Allerdings ist dies ein arithmetischer Mittelwert. In meinem Beispiel handelt es sich jedoch um einen prozentualen Zerfall (negativer Wachstum). Müsste ich dann nicht eigentlich einen geometrischen Mittelwert verwenden? Also:

$\begin{eqnarray*} exp(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \! ln(f(x)) \, dx ) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

28.05.2018, 21:10

Ludwig19

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RE: Geometrisches oder arithmetisches Mittel einer Funktion
Entschuldigung, die Bezeichnung im Intervall von a bis b ist irreführend (da Integrationsgrenzen gleich wie die Parameter in der Funktion bezeichnet wurden), gemeint ist ein beliebiges Intervall.

28.05.2018, 21:20

HAL 9000

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Da sind einige Merkwürdigkeiten zu beobachten:

1) Die Integrationsgrenzen sind wirklich dieselben $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , die auch als Parameter im Exponenten der Exponentialfunktion auftauchen?

2) Wirklich ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ , also zwei verschiedene Varianten, an dieser eher ungewöhnlichen Stelle in der Formel?

EDIT: Ok, Frage 1) hat sich durch deinen letzten Beitrag (den ich jetzt erst lese) erledigt.

28.05.2018, 21:32

Ludwig19

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(p+1) gilt wenn b < x und (p-1) für b > x

Wahrscheinlich habe ich eine schlechte Schreibweise verwendet, die zu Verwirrungen führt.

28.05.2018, 21:34

HAL 9000

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Also eine abschnittsweise definierte Funktion??? Dann ist deine Schreibweise oben geradezu fahrlässig falsch. Es geht also um

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{(x-b)^2}{2}(a(p-1)-b)^2} &\;\mbox{für}\; x<b\\ e^{-\frac{(x-b)^2}{2}(a(p+1)-b)^2} &\;\mbox{für}\; x>b\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

28.05.2018, 21:35

Ludwig19

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Ich weiß ...
Allerdings wusste ich nicht wie man hier große geschweifte Klammern eingibt für Möglichkeiten unglücklich

Der Ausdruck (a(p+1)-b) gehört jedoch unter den Bruchstrich....

28.05.2018, 23:03

HAL 9000

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RE: Geometrisches oder arithmetisches Mittel einer Funktion

Zitat:

Original von Ludwig19
Der Ausdruck (a(p+1)-b) gehört jedoch unter den Bruchstrich....

Aha, also auch noch Klammern vergessen: $\begin{eqnarray*} e^{-(x-b)^2/{\color{red}(}2(a(p\pm 1)-b)^2{\color{red})}} \end{eqnarray*}$

Na gut, dann eben

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{(x-b)^2}{2(a(p-1)-b)^2}} &\;\mbox{für}\; x<b\\ e^{-\frac{(x-b)^2}{2(a(p+1)-b)^2}} &\;\mbox{für}\; x>b\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Eine tatsächliche Integralauswertung über derart strukturierte Integranden führt wohl unweigerlich zum Gaußschen Fehlerintegral.

Dies indes

Zitat:

Original von Ludwig19
$\begin{eqnarray*} exp(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \! ln(f(x)) \, dx ) \end{eqnarray*}$

(natürlich mit anderen Grenzen) wäre "geschlossen" darstellbar.

29.05.2018, 00:07

Ludwig19

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RE: Geometrisches oder arithmetisches Mittel einer Funktion
Vielen Dank für die Mühe!
Jedoch ist mir klar was bei der jeweiligen Betrachtung am Ende rauskommt, ich habe bereits die Integrale für beide Varianten gelöst!

Allerdings ist meine Frage, welchen Mittelwert ich verwenden soll? Es ändert sich ja eigentlich etwas prozentual (in meinen Fall), daher dachte ich an den geometrischen Mittelwert... Jedoch habe ich nur Literatur bzgl. des arithmetischen und des quadratischen Mittelwertes einer Funktion gefunden...?
Nur in einem Wikipedia-Artikel bin ich darauf gestoßen, dass man einen geometrischen Mittelwert einer Funktion bei Exponentialfunktionen anwenden sollte...

29.05.2018, 09:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ludwig19
Allerdings ist meine Frage, welchen Mittelwert ich verwenden soll?

Na dafür kann es pauschal doch keine Antwort geben, dafür ist der Sinnzusammenhang maßgeblich.

Zitat:

Original von Ludwig19
Nur in einem Wikipedia-Artikel bin ich darauf gestoßen, dass man einen geometrischen Mittelwert einer Funktion bei Exponentialfunktionen anwenden sollte...

Das ist m.E. Unsinn, die Anwendung jeweils von der Termstruktur statt vom Sinnzusammenhang abhängig zu machen - so nach dem Motto "weil es sich leichter rechnen lässt". Augenzwinkern

29.05.2018, 09:47

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist m.E. Unsinn, die Anwendung jeweils von der Termstruktur statt vom Sinnzusammenhang abhängig zu machen - so nach dem Motto "weil es sich leichter rechnen lässt". Augenzwinkern

Zur Illustration von HALs Aussage ein Beispiel.

Im ersten Jahr steigt der Wert einer Aktie um 60 %, im zweiten sinkt er um 50 %, und im dritten Jahr steigt er wieder um 20 %. Da rechnen wir doch leicht den Durchschnitt aus.

$\begin{align*} \text{durchschnittliches Wachstum} = \frac{1}{3} \left( 60 \, \% - 50 \, \% + 20 \, \% \right) = 10 \, \% \end{align*}$

Super! Trotz des Einbruchs im zweiten Jahr ist unsere Aktie durchschnittlich immer noch um 10 % pro Jahr gewachsen!

Ein Zahlenbeispiel:

0. Beim Kauf kostet die Aktie 200 €. Sie steigt um 60 %.
1. Nach einem Jahr ist sie also 320 € wert. Sie läßt dann um 50 % nach.
2. Nach dem zweiten Jahr ist sie also 160 € wert. Sie steigt wieder um 20 %.
3. Nach dem dritten Jahr ist sie also 192 € wert.

Die Aktie, die zu Anfang 200 € wert war, steigt also jedes Jahr um durchschnittlich 10 %. Und nach diesen drei Steigerungen ist sie 192 € wert. Welch wundersame und phantastische Welt! Tanzen

EDIT
Probleme im elementaren Zahlenrechnen bereinigt.

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