Länge der Kurve berechnen

28.05.2018, 19:24

Kathreena

Länge der Kurve berechnen

a.) $\begin{eqnarray*} \phi:[a,b] \rightarrow R^3, \phi(t) = (r cos(t), r sin(t) , ct) \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb R ^2, \gamma (t) = (e^{ct} cos(t), e^{ct} sin(t)) \end{eqnarray*}$

Berechne die Längen der Kurven.
$\begin{eqnarray*} a=-4 \pi, b= 4 \pi , c = 1/8 , r=1/2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

a.)

$\begin{eqnarray*} L = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! || \phi'(t) || \, dt = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! \sqrt{(-r \cdot sin(t))^2+(r \cdot cos(t))^2+c^2} \, dt = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! \sqrt{r^2+c^2} \, dt = \sqrt{r^2+c^2} + 8 \pi \end{eqnarray*}$

b.) da weiß ich nich weiter:

$\begin{eqnarray*} L = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! || \gamma'(t) || \, dt = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! \sqrt{[(c \cdot e^{ct} \cdot cos(t)) + (e^{ct} \cdot(-sin(t))]^2+[(c \cdot e^{ct} \cdot cos(t)) + (e^{ct} \cdot sin(t))]^2} dt \end{eqnarray*}$

29.05.2018, 08:38

klarsoweit

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RE: Länge der Kurve berechnen
Zu a: das Ergebnis des Integrals am Ende ist falsch. Außerdem könntest du noch die Werte für c und r einsetzen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kathreena
b.) da weiß ich nich weiter:

$\begin{eqnarray*} L = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! || \gamma'(t) || \, dt = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! \sqrt{[(c \cdot e^{ct} \cdot cos(t)) + (e^{ct} \cdot(-sin(t))]^2+[(c \cdot e^{ct} \cdot cos(t)) + (e^{ct} \cdot sin(t))]^2} dt \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! || \gamma'(t) || \, dt = \int_{-4\pi}^{4 \pi} \! \sqrt{[c \cdot e^{ct} \cdot cos(t) + e^{ct} \cdot (-sin(t))]^2 + [e^{ct} \cdot cos(t) + c \cdot e^{ct} \cdot sin(t)]^2} dt \end{eqnarray*}$

Ich würde nun die Klammer ausrechnen und etwas zusammenfassen. smile

29.05.2018, 16:31

Kathreena

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Danke, ich denke ich habs.

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