Elfmeterschießen Markov-Kette

29.05.2018, 12:38	Phantomhive	Auf diesen Beitrag antworten »
Elfmeterschießen Markov-Kette Meine Frage: Ich komme nicht darauf, wie ich folgende Situation als Markov-Kette modellieren soll: Beim Elfmeterschießen führen die ersten fünf Runden zu keiner Entscheidung. Nun wird in jeder Runde von beiden Teams A und B jeweils ein Elfmeter geschossen, bis eine der Mannschaften gewinnt, sprich bis nur eines der beiden Teams in einer Runde getroffen hat. Team A hat eine Treffer-WK von 0,7 und Team B von 0,6. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Meine Ideen: Keine
29.05.2018, 14:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegt an sich auf der Hand: Wenn man die beiden Schussergebnisse einer Runde jeweils zusammenfasst, sind nur 3 Zustände relevant: 1) Ausgang offen 2) A gewinnt 3) B gewinnt Die letzten beiden sind absorbierend. Die Ü-Matrix sollte mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten leicht aufstellbar sein.
29.05.2018, 14:26	Phantomhive2	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,54 & 0,28 & 0,18 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
29.05.2018, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.
29.05.2018, 14:37	Phantomhive3	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
31.05.2018, 15:36	Phantomhive4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} \frac{27}{50} & \frac{7}{25} & \frac{9}{50} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{n} = \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} 1 & \frac{9}{23} & \frac{14}{23} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{27}{50} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{14}{23} & -\frac{9}{23} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{14}{23} & \frac{9}{23} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist dies richtig?
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31.05.2018, 15:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist eine mögliche Diagonalisierung. Und das Endergebnis (nun wieder eindeutig) mit den in der ersten Matrixzeile ablesbaren Siegwahrscheinlichkeiten der beiden Mannschaften ist natürlich auch richtig.

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