frage zu Teileranzahlen

29.05.2018, 19:24

georg2000

frage zu Teileranzahlen

Hallo die Aufgabe hier :
Sei $\begin{eqnarray*} n \in N_+ \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie t(n) = |T(n)|, die Anzahl der positiven Teiler von
n, und zeigen Sie, dass für positive, teilerfremde ganze Zahlen n,m die Beziehung
t(nm) = t(n) + t(m) gilt.

ich glaube statt + gehört ein * oder?

ich habe gelesen die Anzahl der Teiler ergibt sich aus den Produkten der vielfachheiten der Primzahlen +1 ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion

jedoch wie beweist man das?

wenn die zahlen m,n Teilerfremd sind und $\begin{eqnarray*} n=\prod p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m=\prod p_j^{\beta_j} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} t(nm)=\prod (\alpha_i+1)* \prod (\beta_j +1) \end{eqnarray*}$
das ist dann doch $\begin{eqnarray*} t(n)*t(m) \end{eqnarray*}$ oder?

29.05.2018, 20:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: frage zu Teileranzahlen

Zitat:

Original von georg2000
wenn die zahlen m,n Teilerfremd sind und $\begin{eqnarray*} n=\prod p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m=\prod p_j^{\beta_j} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} t(nm)=\prod (\alpha_i+1)* \prod (\beta_j +1) \end{eqnarray*}$
das ist dann doch $\begin{eqnarray*} t(n)*t(m) \end{eqnarray*}$ oder?

Richtig.

Zitat:

Original von georg2000
jedoch wie beweist man das?

Elementare Teilbarkeit in Verbindung mit elementarer Kombinatorik: Jeder positive Teiler $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n=\prod_i p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ ist zwingend von der Struktur $\begin{eqnarray*} t=\prod_i p_i^{k_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k_i\leq \alpha_i \end{eqnarray*}$ , es gibt also $\begin{eqnarray*} (\alpha_i+1) \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten zur Auswahl von $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist somit die Menge der Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zum kartesischen Produkt $\begin{eqnarray*} \DeclareMathOperator*{\bigtimes}{\LARGE\text{$\times$}}\bigtimes_i \left\{0,1,\ldots,\alpha_i\right\} \end{eqnarray*}$ , und dessen Mächtigkeit ist ja $\begin{eqnarray*} \prod_i \left| \left\{0,1,\ldots,\alpha_i\right\} \right| = \prod_i \left(\alpha_i+1\right) \end{eqnarray*}$ .

29.05.2018, 22:12

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000,

eine Blöde frage dazu: Warum gilt : Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist somit die Menge der Teiler von n gleichmächtig zum kartesischen Produkt?

für jeden Primfaktor hab ich dann $\begin{eqnarray*} \alpha_i +1 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten zur Auswahl des $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ bzw warum multiplizieren sich diese und nicht addieren?

29.05.2018, 22:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Sprache der Mengenleere nicht verstehst, dann vergiss die Anmerkung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisch...hl_der_Elemente

29.05.2018, 23:47

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar danke!!

Neue Frage »

Antworten »

frage zu Teileranzahlen

Verwandte Themen