Standardnormalverteilung durch Taylor

Neue Frage »

skuubi Auf diesen Beitrag antworten »
Standardnormalverteilung durch Taylor
Hallo zusammen, ich komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht so recht voran..

Sie lautet:
Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion:



(a) Bestimmen Sie durch eine Annäherung (Taylorentwicklung) der Funktion annäherungsweise die Wahrscheinlichkeit p(0.6 X 0.85). Bestimmen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit bitte auch mit den Tabellenwerten und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.
(b) Welche Probleme ergeben sich bei Verwendung der Annäherung für die Wahrscheinlichkeit
p(X \leq 0.4)?

Da es quasi "die" Formel für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, müsste man die Wahrscheinlichkeiten von kleiner gleich 0,6 und 0,85 ja einfach aus der Formelsammlung ablesen können.
Also p = 0,8023 - 0,7258.

Für die Taylorentwicklung brauche ich Ableitungen. Woher weiß ich denn wie viele?
Angenommen ich mache nur 2 bekomme ich:




Angenommen 2 sind okay/richtig, an welcher Stelle für ich die Entwicklung durch?
Bei 0 wäre die Formel leicht, aber wahrscheinlich sinnlos. nehme ich dann 0,725 als Mittelpunkt?
Und der nächste Schritt währe das Intigrieren von 0,6 bis 0,85, die Fläche Entspricht dann meiner Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle? verwirrt ich bin mir nicht mehr so sicher..
Zu b) Ich nehme mal an die genäherte Kurve weicht ab 0,4 stark von der erzeugten ab, aber das ist erstmal zweitrangig Big Laugh

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ich hab das mit dem Formeleditor richtig gemacht...

Viele Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es eher so verstehen, dass du einfach die Exponentialreihe für anwendest, das ergibt , und somit dann das unbestimmte Integral

,

damit solltest du schon erstmal weiterkommen.

Zitat:
Original von skuubi
an welcher Stelle für ich die Entwicklung durch?
Bei 0 wäre die Formel leicht, aber wahrscheinlich sinnlos. nehme ich dann 0,725 als Mittelpunkt?

Sinnlos nicht, aber richtig ist, dass man da etwas mehr Glieder der Entwicklung braucht, um die gleiche Approximationsgenauigkeit zu erreichen. Angesichts der schnellen Konvergenz von (*) - man kann dort auch noch das Restglied bei Abbruch geeignet abschätzen - ist aber auch Entwicklungspunkt 0 dank der einfacheren Formelstruktur eine Überlegung wert.
skuubi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die Stammfunktion hab ich ebenfalls so gelöst.
Dennoch weiß ich nicht, wie weit ich mit n gehe.
Angenommen ich möchte das Integral von 0,6 von dem von 0,85 abziehen mit n = 0 bis 2
erhalte ich:



Für x=0,85:

= 0,759

Für x=0,6

=0,566

-> 0,759 - 0,566=0,193

Aus Tabellenwerten: 0,0765, Also doch ein deutlicher Unterschied :/
Oder was mache ich falsch?

€dit: Oder heißt das nur ich mit n nurnoch deutlich höher gehen und nähere mich immer weiter meinem Tabellenwert?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von skuubi
-> 0,759 - 0,566=0,193

Aus Tabellenwerten: 0,0765, Also doch ein deutlicher Unterschied :/

Dir ist schon klar, dass vor dem Integral noch der Vorfaktor steht?

-----------------------------------------------------

Ok, mal numerisch Butter bei die Fische: (*) eingesetzt ergibt sich für



mit sowie Restglied .

Letzteres ist eine alternierende Reihe. Ist der Betrag der Reihenglieder zusätzlich monoton fallend, so kann der Betrag des Restgliedes einer solchen alternierenden Reihe durch den Betrag des ersten Reihengliedes nach oben abgeschätzt werden, d.h.,

.

Wann haben wir nun Monotonie für Folge , d.h., für welche ist sicher gewährleistet? Nun, aus dieser Monotonieforderung ergibt sich

,

dafür ist hinreichend oder umgestellt . Wir benötigen diese Monotonie für , also lautet die Forderung . Für die hier in der Aufgabe diskutierten ist das keine Einschränkung, d.h. wir haben von Start weg bereits Monotonie, bei größeren sieht es aber anders aus.

    Anmerkung: Prinzipiell ist Rechnung (**) auch für geeignet (dort dann allerdings in dem Sinne , was aber auf dasselbe Integral führt), alle sind hier ungerade, d.h. es ist und insgesamt führt das zur bekannten Symmetrie . Allerdings müssen dann einige Abschätzungen wie oben zu umgeschrieben werden usw., das spare ich mir mal, weil es nicht wesentliches bringt.

Wie geht man also vor, um bis auf eine vorgegebene Genauigkeit zu berechnen:

Sukzessives Aufsummieren bis man sowohl als auch erreicht hat.

Effizient programmiert würde man mit sowie iterativ arbeiten, damit ist dann nämlich .
skuubi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe, ich habs jetzt soweit smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und dir ist auch klar, worauf b) anspielt? Das hier

Zitat:
Original von skuubi
Zu b) Ich nehme mal an die genäherte Kurve weicht ab 0,4 stark von der erzeugten ab

ist es nämlich wohl nicht.
 
 
skuubi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich denke es zielt darauf ab, dass die Zahlen mit Exponent so klein werden und sich 0 annähern,
dass die Fläche praktisch immer x bzw. 0,3989*x wird.
Oder gibt es eine vernünftige "fundiertere" Erklärung?

Viele Früße smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso soll das ein Problem sein? Die Formel konvergiert für 0.4 schneller als für 0.6 bzw. 0.85, das ist doch eher gut!

Ich denke, die meinen eher die untere, bei ja eigentlich gar nicht vorhandene Intervallgrenze. Bei meinem Zugang oben tritt das Problem nicht auf bzw. ist gelöst, weil ich gleich die "untere Hälfte" der Verteilung via abgeklemmt habe. Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »