Rest berechnen

31.05.2018, 13:11

eroy

Rest berechnen

Hallo zusammen,

ich habe die Aufgabe $\begin{eqnarray*} R_{63}(100^{1207}) \end{eqnarray*}$ folgendermaßen gelöst:
$\begin{eqnarray*} R_{63}(100^{1207}) = R_{7}(100^{1207}) * R_{9}(100^{1207}) = R_{7}(R_{7}(100)^{1207}) * R_{9}(R_{9}(100)^{1207}) = R_{7}(2^{1207}) * R_{9}(1^{1207}) = R_{7}(2^{1207}) * R_{9}(1) = R_{7}(2^{1207}) * 1 = R_{7}(2^{1207}) = R_{7}((2^{10})^{12} * 2^{7}) = R_{7}(R_{7}(2^{10})^{12} * R_{7}(2^{7})) = R_{7}(R_{7}(2^{10})^{12} * R_{7}(2^{6}*2^{1})) = R_{7}(R_{7}(2^{10})^{12} * R_{7}(R_{7}(2^{6})*R_{7}(2^{1}))) = R_{7}(2^{12} * R_{7}(1 * 2)) = R_{7}(2^{12} * 2) = R_{7}(R_{7}(2^{10}*2^{2}) * R_{7}(2)) = R_{7}(R_{7}(R_{7}(2^{10})*R_{7}(2^{2})) * R_{7}(2)) = R_{7}(R_{7}(8) * R_{7}(2)) = R_{7}(1 * 2) = R_{7}(2) = 2 \end{eqnarray*}$
Ich würde jedem hier sehr dankbar sein, der mir sagt, ob das was ich hier mache, legitim ist. verwirrt

31.05.2018, 13:24

HAL 9000

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Die Symbolik $\begin{eqnarray*} R_{63} \end{eqnarray*}$ ist mir nicht vertraut. Der Überschrift nach würde ich ja vermuten, dass es um den Rest bei Division durch 63 geht - das beißt sich allerdings mit dem von dir verwendeten $\begin{eqnarray*} R_{63}(n) \stackrel{?}{=} R_7(n) * R_9(n) \end{eqnarray*}$ . Denn das gilt i.a. nicht - es sei denn, ich missverstehe schon wieder was, indem ich * für das Multiplikationszeichen halte...

Falls doch der Rest gemeint sein sollte:

$\begin{eqnarray*} R_7\left( 100^{1207}\right) = 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} R_9\left( 100^{1207}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ sind beides richtig, aber daraus folgt nicht der Wert von $\begin{eqnarray*} R_{63}\left( 100^{1207}\right) \end{eqnarray*}$ durch bloße Multiplikation. Stattdessen kommt da der Chinesische Restsatz zur Anwendung.

31.05.2018, 14:08

eroy

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Hallo HAL 9000,

danke schön für deine Antwort!
Du hast genau so verstanden, wie ich es gemeint habe. Nun sehe ich, was du meinst.

Ich gehe nun weiter folgendermaßen vor:
$\begin{eqnarray*} x \equiv_{7} 2 x \equiv_{9} 1 \end{eqnarray*}$

Die Lösung liegt im Intervall $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 63 = 7 * 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{1} = 63/7 = 9 M_{2} = 63/9 = 7 \end{eqnarray*}$

Wir benutzen:
$\begin{eqnarray*} M_{i} * N_{i} \equiv_{m_{i}} 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 * N_{1} \equiv_{7} 1, ==> N_{1} = 4 7 * N_{2} \equiv_{9} 1, ==> N_{2} = 4 x = R_{63}(2*9*4+1*7*4) = R_{63}(100) = 37 \end{eqnarray*}$

Habe ich dich also richtig verstanden? Danke dir nochmals für deine Hilfe!

31.05.2018, 14:57

HAL 9000

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37 ist richtig. Freude

Auch möglich: Aus $\begin{eqnarray*} \lambda(63) = \lambda(3^2\cdot 7) = \operatorname{kgV}(3\cdot (3-1),7-1) = 6 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 1207\equiv 1\bmod 6 \end{eqnarray*}$ folgt sofort

$\begin{eqnarray*} 100^{1207}\equiv 100^1 \equiv 37\bmod 63 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2018, 20:24

eroy

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Zitat:

Original von HAL 9000
37 ist richtig. Freude

Danke schön!!

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