Minimalster der Funktion berechnen

31.05.2018, 21:40

Xsusix

Minimalster der Funktion berechnen

Meine Frage:
Meine Funktion ist :

F(x)= 1/4 * x^4 - 2 * x^2 + 2

Die Aufgabenstellung ist nun : zeigen Sie rechnerisch , dass x=2 eine lokale minimalstelle der Funktion f ist .
Wie berechne ich das nun ?

Meine Ideen:
Muss ich Ableiten ? Wenn ja wie

31.05.2018, 23:47

Ulrich Ruhnau

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RE: Minimalster der Funktion berechnen
Eigentlich ist das doch einfach. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} y(x)= \frac{x^4}{4}-2x^2+2 \end{eqnarray*}$ muß nach x abgeleitet und dies gleich null gesetzt werden.

$\begin{eqnarray*} y'(x)=x^3-4x=(x^2-4)x=(x-2)(x+2)x=0 \end{eqnarray*}$
Wir erkennen, daß die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y'(x) \end{eqnarray*}$ drei Nullstellen hat.

An diesen Nullstellen hat $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ ein Maximum falls $\begin{eqnarray*} y''(x) < 0 \end{eqnarray*}$ , ein Minimum falls $\begin{eqnarray*} y''(x) > 0 \end{eqnarray*}$ und einen Sattelpunkt falls $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . So etwas haben wir früher in der Schule gelernt. Ich weiß nicht, ob es heute anders ist.

01.06.2018, 11:46

Leopold

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RE: Minimalster der Funktion berechnen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
und einen Sattelpunkt falls $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch. $\begin{align*} f(x) = x^4 \end{align*}$ hat bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ keinen Sattelpunkt.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
So etwas haben wir früher in der Schule gelernt. Ich weiß nicht, ob es heute anders ist.

Dann hoffen wir, daß es heute anders ist.

Man könnte die Aufgabe auch mittels quadratischer Ergänzung lösen:

$\begin{align*} y(x) = \frac{1}{4} x^4 - 2x^2 + 2 = \frac{1}{4} \left( x^2 - 4 \right)^2 - 2 \end{align*}$

Und hieran kann man alles ablesen: Minimalstellen und Minimalwerte. Aber vermutlich soll das mittels Ableitung gemacht werden.

01.06.2018, 13:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Und hieran kann man alles ablesen: Minimalstellen und Minimalwerte.

Zumindest alles, was die Aufgabenstellung hier fordert, darüber hinaus auch alle Fragen zu globalen Extremstellen und -werten, die natürlich dann insbesondere auch lokale sind.

Nur wenn die Frage nach allen lokalen Extremstellen stehen würde, dann ist es wohl doch günstiger, den vertrauten Analysisweg zu beschreiten: Denn anderweitig ist das lokale Maximum bei x=0 wohl schwieriger zu begründen.

01.06.2018, 13:10

Ulrich Ruhnau

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RE: Minimalster der Funktion berechnen
Hallo Leopold,

es wäre besser, etwas konstruktiver zu Werke zu gehen. Ich habe mir überlegt, daß zum Sattelpunkt nicht nur die Bedingung $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gehört, sondern auch die Bedingung $\begin{eqnarray*} (y(x+\epsilon)-y(x))(y(x-\epsilon)-y(x)) < 0 \end{eqnarray*}$ für kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Außerdem soll man doch nicht so tun, als wäre alles falsch was ich gemacht habe, sonst wird meine Hilfe nicht als solche angenommen. Ich würde gerne mal sehen, was Du konstruktives beizutagen hast. Wie definierst Du den Sattelpunkt?

Außerdem erlaube ich mir, darauf hinzuweisen, daß der Fall $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ hier gar nicht relevant ist, wie man am Funktionsplot für $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ erkennt (linke Darstellung). Wo ich schon dabei bin, kann ich ja gleich die erste sowie die zweite Ableitung mit darstellen.
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01.06.2018, 13:34

HAL 9000

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Die Sattelpunktdefinition für Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^d\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ lautet üblicherweise so:

a) $\begin{eqnarray*} \nabla f(x_S)=0 \end{eqnarray*}$

b) In jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ gibt es Funktionswerte sowohl kleiner als auch größer $\begin{eqnarray*} f(x_S) \end{eqnarray*}$ .

Gilt auch für Dimension $\begin{eqnarray*} d=1 \end{eqnarray*}$ , dort ist natürlich einfach $\begin{eqnarray*} \nabla f(x_S)=f'(x_S) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Deine genannte Bedingung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} (y(x+\epsilon)-y(x))(y(x-\epsilon)-y(x)) < 0 \end{eqnarray*}$ für kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

ist dafür aber keine in jedem Fall passende Charakterisierung: Betrachten wir etwa die Funktion

$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x=0\\ x^3\sin\left( \frac{1}{x}\right) & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Die ist stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$ , und dort bei $\begin{eqnarray*} x_S=0 \end{eqnarray*}$ liegt ein Sattelpunkt gemäß obiger Definition vor. Aber sie ist auch gerade, d.h. $\begin{eqnarray*} y(-x)=y(x) \end{eqnarray*}$ , womit

$\begin{eqnarray*} (y(x_S+\varepsilon)-y(x_S))(y(x_S-\varepsilon)-y(x_S)) = (y(\varepsilon))^2 \geq 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt, und für fast alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sogar $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ in (*).

01.06.2018, 14:45

Leopold

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@ Ulrich Ruhnau

Hier ein Beispiel für "konstruktive" Kritik:

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
So etwas haben wir früher in der Schule gelernt. Ich weiß nicht, ob es heute anders ist.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Außerdem soll man doch nicht so tun, als wäre alles falsch was ich gemacht habe, sonst wird meine Hilfe nicht als solche angenommen.

Jeder kann hier nachvollziehen, daß dieser Vorwurf haltlos ist:

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
und einen Sattelpunkt falls $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch. $\begin{align*} f(x) = x^4 \end{align*}$ hat bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ keinen Sattelpunkt.

Hier beschreibe ich erstens genau, wo der Fehler liegt, und begründe das zweitens sogar. Mehr an konstruktiver Kritik geht nicht.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Außerdem erlaube ich mir, darauf hinzuweisen, daß der Fall $\begin{eqnarray*} y''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ hier gar nicht relevant ist

Ich finde es immer komisch, wenn Leute sich für etwas rechtfertigen, was nie in Frage stand.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Wie definierst Du den Sattelpunkt?

Hier eine Definition für einmal differenzierbare reelle Funktionen (eindimensionaler Fall).

Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sei in einer geeigneten Umgebung $\begin{align*} U \end{align*}$ von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ differenzierbar, und es gelte

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ f'(x_0) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \left( \forall \, x \in U \setminus \{ x_0 \}: \ f'(x)>0 \right) \ \vee \ \left( \forall \, x \in U \setminus\{ x_0 \}: \ f'(x)<0 \right) \end{align*}$

Dann ist der Punkt $\begin{align*} \left( x_0 , f(x_0) \right) \end{align*}$ ein Sattelpunkt des Graphen von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

In der Schule würde man das natürlich nicht so formalistisch aufschreiben.

Beispiel: Der Graph der Funktion $\begin{align*} f(x) = x \cdot |x| \, , \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$ , hat in $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ einen Sattelpunkt. Übrigens existiert $\begin{align*} f''(0) \end{align*}$ nicht.

Zitat:

Original von HAL 9000
Nur wenn die Frage nach allen lokalen Extremstellen stehen würde, dann ist es wohl doch günstiger, den vertrauten Analysisweg zu beschreiten: Denn anderweitig ist das lokale Maximum bei x=0 wohl schwieriger zu begründen.

In diesem speziellen Fall könnte man natürlich auf die Geradheit der Funktion verweisen. Und für solche Funktionen gilt immer $\begin{align*} f'(0) = 0 \end{align*}$ .
Da die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades höchstens drei Nullstellen besitzt, ...

01.06.2018, 14:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sei in einer geeigneten Umgebung $\begin{align*} U \end{align*}$ von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ differenzierbar, und es gelte

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ f'(x_0) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \left( \forall \, x \in U \setminus \{ x_0 \}: \ f'(x)>0 \right) \ \vee \ \left( \forall \, x \in U \setminus\{ x_0 \}: \ f'(x)<0 \right) \end{align*}$

Dann ist der Punkt $\begin{align*} \left( x_0 , f(x_0) \right) \end{align*}$ ein Sattelpunkt des Graphen von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Das ist aber nicht die Definition oder eine äquivalente Charakterisierung, sondern nur hinreichend für einen Sattelpunkt!

Soweit ich weiß, lautet die Definition für Sattelpunkt schlicht "kritischer Punkt, der kein lokaler Extrempunkt ist". verwirrt

01.06.2018, 17:12

Ulrich Ruhnau

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Ich finde die von Leopold gegebene Definition für einen Sattelpunkt gar nicht so schlecht.
Die Frage wäre dann jedoch, ob die von HAL 9000 gegebene Funktion

$\begin{eqnarray*} y(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & x = 0 \\ x^3 sin(\frac{1}{x}) & x\neq 0 \end{matrix} \right\} \end{eqnarray*}$

nach dieser Definition noch immer ein Sattelpunkt ist. Das würde die Kritik an meiner improvisierten Definition für einen Sattelpunkt ein bischen einschränken.

Abgesehen davon habe ich meine Äußerung "So etwas haben wir früher in der Schule gelernt. Ich weiß nicht, ob es heute anders ist." schulpolitisch gemeint. Ich Wirklichkeit wollte ich fragen, ob die aktuellen Lehrpläne das Thema nicht mehr behandeln. Als Bürger möchte man doch wissen, ob es bergab oder bergauf geht mit der Schulbildung.

Im übrigen verstehe ich unter "konstruktiver Kritik" nicht, daß man nur auf den Fehler hinweist (von wegen: Mehr an konstruktiver Kritik geht nicht.) , sondern zur Lösung einer Aufgabe Alternativen bereitstellt.

01.06.2018, 17:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Das würde die Kritik an meiner improvisierten Definition für einen Sattelpunkt ein bischen einschränken.

Womit wir das Auswahlkriterium haben, warum dir die eine Definition eher zusagt als die andere. Augenzwinkern

01.06.2018, 19:07

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Soweit ich weiß, lautet die Definition für Sattelpunkt schlicht "kritischer Punkt, der kein lokaler Extrempunkt ist". verwirrt

Ehrlich gesagt, habe ich mir noch nie so richtig Gedanken darüber gemacht, wie man Sattelpunkt "offiziell" definiert. Ich verwende immer die Definition aus meinem vorigen Beitrag. Ob ich das irgendwoher habe oder es auf meinem eigenen Mist gewachsen ist, weiß ich nicht mehr. Vermutlich ist das aus Schulbüchern zusammengereimt.
Bei Oszillieren würde ich nicht von einem Sattelpunkt sprechen, kann aber auf die Schnelle keine Belegstelle mit Autorität finden.

01.06.2018, 19:19

HAL 9000

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Zumindest besitzt "kritischer Punkt, der kein lokaler Extrempunkt ist" auch für Dimensionen d>1 einen klaren Sinn. Bei deiner Definition wüsste ich jetzt nicht auf Anhieb, wie man das sinnvoll erweitert.

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