Transformation eines Zufallsvektors

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Transformation eines Zufallsvektors
Hallo,

folgendes: es sei ein Zufallsvektor mit voneinander unabhängigen mit bekannten Wahrscheinlichkeitsfunktionen. soll nun transformiert werden zu

.

Wie kommt man nun auf die gemeinsamen Verteilungen oder ?


Mein Ansatz:
Es ist und bekannt. Gesucht ist dann

.

Auch wenn und bekannt sind weiß ich nicht wie ich mit der Abhängigkeit zwischen und umgehen soll. Anwendung des Transformationssatzes scheitert wiederum daran, dass wohl keine umkehrbare und stetig differenzierbare Funktion ist.

Gibt es da irgendeinen Ausweg? Danke für Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem kannst du wohl gleich vergessen: Der solchermaßen konstruierte Zufallsvektor wird i.a. wohl nicht zweidimensional stetig sein.


Was die Verteilungsfunktion betrifft, einfach einsetzen und umformen:

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Hallo,

danke für die Antwort! Dass nicht stetig sein wird habe ich schon angenommen. Ich hoffte, man kann sich da mit Konstruktionen mit Dirac und Heaviside-Funktionen behelfen (wie z.B. bei .

Wenn man die Dichtefunktion für weitere Berechnungen unbedingt benötigt, bleibt wohl i.A. nur eine numerische Berechnung (z.b. nach Diskretisierung von )?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich hoffe du hast durchschaut, welcher Struktur diese Nicht-Absolutstetigkeit der Verteilung hier ist:

Es ist hier , zumindest dann wenn es eine reelle Zahl mit und gibt.

Nun ist aber mit der -Nullmenge , und bei gleichzeitigem verletzt die Absolutstetigkeit , welche für die Existenz einer Dichte notwendig und hinreichend ist.

Interessant ist, dass die Verteilungsfunktion dennoch stetig in ist. Ist also wirklich nicht leicht, diese fehlende Absolutstetigkeit zu durchschauen bzw. zu bewerten. Augenzwinkern
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Danke für die Antwort. Wozu ich eigentlich die Verteilung benötige ist, um für einen weiter gegebenen Vektor , gemeinsame Verteilung und Dichte gegeben, nicht unabhängig voneinander, aber alle unabhängig von allen , die Wahrscheinlichkeit auszurechnen. Siehst du da irgendeine Möglichkeit dazu?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mit dem Ergebnis von oben wäre das ja Wahrscheinlichkeit



Kommt nun auf die spezielle Struktur deiner Verteilungsfunktionen an, wie (un)angenehm dieses Integral auswertbar ist.
 
 
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Wie kommst du so schnell auf die Formel? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist laut totaler Wahrscheinlichkeit im stetigen Fall.

Da aber ) von unabhängig ist, und als Funktion von ) darstellbar ist, ist auch ) von unabhängig. Damit gilt

,

und das rechts hatten wir ja oben schon.


P.S.: Ich bin jetzt natürlich leichtsinnigerweise davon ausgegangen, dass oder stetig verteilt ist. Sollte das nicht der Fall sein, muss man natürlich dem Unterschied zwischen und mehr Beachtung schenken.
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Auf die Umformung mit der bedingten bzw. totalen Wahrscheinlichkeit wär ich nicht gekommen, danke für diesen interessanten input! Ein Frage habe ich zum: das gesamte Integral ist dann das selbe wie

?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sofern absolutstetig verteilt ist, d.h. eine dann zugehörige Dichte existiert: Ja.

In diesem Fall zerstreuen sich ja dann auch die im P.S. geäußerten Bedenken.
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ist nicht als vollständiges Differential zu sehen, sondern so eine Schreibweise wie bei einem Volumenintegral, oder? Hat mich bissl verwirrt. verwirrt
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