[Prädikatenlogik] Unendlich viele Zahlen in Prädikatenlogik?

02.06.2018, 07:26	vvfvvfvvf	Auf diesen Beitrag antworten »
[Prädikatenlogik] Unendlich viele Zahlen in Prädikatenlogik? Guten morgen Leute. Bei einer Übungsaufgabe heißt es: Zwischen den rationalen Zahlen a und b gibt es immer unendlich viele rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen zwischen a und b bezeichnen wir als X. Lösungsansätze zu allen weiteren Aufgaben hab ich mir schon ausgedacht, aber bei mir haperts bei der Notierung der Prädikatenlogik: Ganz plump gefragt: Wie kann ich in einer prädikatenlogischen Formel darstellen, dass zwischen zwei rat. Zahlen a und b unendliche viele rationale Zahlen (genannt Menge X) existieren? Soweit hab ich: $\begin{eqnarray} \forall p \in \mathbb Q \forall q \in \mathbb Q : - (p = q) \Rightarrow p < x < q \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ noch nicht definiert, bzw ich wüsste nicht wie ich das in die Formel einbinde. (Geschweige denn, ob die Formel denn soweit richtig ist.) Nach recherche im Netz hab ich mich einfach zum Fragen entschieden. Die Folien sind nicht so der Knaller und im Netz findet sich da nichts zu, weil das leider kein Allerweltsthema ist. Frustrierend, da ich wüsste wie ich die anderen Teilaufgaben mache, nur den ersten Schritt nicht. Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, wie ich das Problem aus der Welt schaffe. Wie man anhand von a und b unendliche viele Zahlen erzeugt ist mir bekannt, vielleicht hilft das weiter? Gruß
02.06.2018, 10:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge der rationalen Zahlen zwischen den rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ kann man nicht als $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezeichnen, weil $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nicht ersichtlich von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ abhängt. Ich schlage daher als Definition vor : Für $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} X(a,b):=(a,b)\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ . In deiner Formel schwirrt das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beziehungslos in der Gegend herum (man sagt, $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist eine ungebundene Variable), da gehört zumindest ein Existenzquantor dazu. Selbst dann drückt eine solche Formel bestenfalls nur aus, dass es eine rationale (?) Zahl zwischen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gibt. Für die Unendlichkeit brauchen wir ein paar mehr Zahlen als nur eine. Vorschlag: $\begin{eqnarray} \forall a,b\in \mathbb Q: a\ne b\Rightarrow \|(a,b)\cap\mathbb Q\|=\infty \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} (a,b)\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ kannst du nun nach obiger Definition $\begin{eqnarray} X(a,b) \end{eqnarray}$ oder meinetwegen auch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ einsetzen. Meines Erachtens wird die Aussage dadurch in keinem Fall besser. Warum sollte man eine wohldefinierte Menge durch das unbestimmte $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und eine Definition dieses $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ersetzen ?
02.06.2018, 10:25	vvfvvfvvf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich seh schon, ich wäre nicht auf deinen Lösungsweg gekommen! Laut Aufgabe muss X (scheinbar) irgendwo einzubinden sein. Daher vielleicht: $\begin{eqnarray} \forall a,b \in \mathbb Q: a \neq b \Rightarrow \| a,b \cap \mathbb Q \| = X = \infty \end{eqnarray}$ Verändert das die Bedeutung?
02.06.2018, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verändert nicht die Bedeutung, das ist schlicht falsch. $\begin{eqnarray} (a,b)\cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist eine Menge, nämlich der Durschschnitt des reellen Intervalls $\begin{eqnarray} (a,b) \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ mit den rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \|(a,b)\cap \mathbb Q\| \end{eqnarray}$ ist die Mächtigkeit dieser Menge, die Aussage lautet, dass diese Mächtigkeit nicht endlich ist. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ soll eine Menge sein, also ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kein Mächtigkeit, also auch nicht gleich $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Wenn du glaubst, dass du $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ brauchst, dann definiere und benutze $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Definition: $\begin{eqnarray} X:=(a,b)\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Behauptung: $\begin{eqnarray} \forall a,b\in\mathbb Q:a\ne b\Rightarrow \|X\|=\infty \end{eqnarray}$
03.06.2018, 04:29	vvfvvfvvf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir!

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