Endo-/Automorphismus erkennen

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Endo-/Automorphismus erkennen
Hallo,

ich habe eine Frage zu Homomorphismen.

Ich habe mir aufgeschrieben, dass ein Endomorphismus eine Selbstabbildung ist, d.h. wenn zwei Gruppen (G,*) und (H,o) übereinstimmen.
Beispiel: ist ein Endomorphismus der Gruppe

Des weiteren ist ein Automorphismus ein bijektiver Endomorphismus.
Beispiel: , denn es gilt für alle

Ich verstehe nicht, warum das eine ein Endomorphismus, das andere aber sogar ein Automorphismus ist.

Kann mir das jemand erklären?
Danke!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endo-/Automorphismus erkennen
Die Abbildung im ersten Beispiel ist nicht surjektiv.
 
 
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RE: Endo-/Automorphismus erkennen
Die erste Abbildung ist nicht surjektiv, das Bild enthält ja nur die geraden Zahlen. Bedenke, dass es etwas wie 1/2 in den ganzen Zahlen nicht gibt.
Edit: Und wech Wink
Morphismus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die schnelle Antwort!

Das heißt also, würde bei Z->Z, x->3x stehen statt 2x, wäre es auch ein Automorphismus?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Morphismus Auf diesen Beitrag antworten »

Warum denn nicht? So würden doch auch ungerade Zahlen im Bild drin sein verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Schlag vielleicht nochmal nach, was der Begriff surjektiv eigentlich bedeutet. Mir scheint, dass dir das noch nicht ganz klar ist.
Morphismus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eine surjektive Abbildung ist doch, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal von der Definitionsmenge erreicht werden kann.

Oh... Da wir von allen ganzen Zahlen abbilden, sind auf jeden Fall auch 1, 2, 3, 4, 5 im Definitionsbereich. Der Zielbereich kann aber erst ab 4 (wenn x -> 2x) bzw. ab 6 (wenn x -> 3x) Werte annehmen.
Richtig erklärt?


Kann es auch Endomorphismen geben, die nur surjektiv sind? (obiges Beispiel ist ja nur injektiv)
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