Differenzierbarkeit zeigen

02.06.2018, 23:30

jaaaa

Differenzierbarkeit zeigen

Meine Frage:
Hallo,
Könnte mir jemand helfen?

f:R->R, f(x)=sin(2x)cos(x)

Ich soll zeigen anhand der Definition von Differenzierbarkeit, dass f an der Stelle Null differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Das heißt : $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f((0+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$ .

Aber ich weiss nicht wie es weiter gehen soll.

Ich wäre sehr dankbar smile

03.06.2018, 10:20

10001000Nick1

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RE: Differenzierbarkeit zeigen

Zitat:

Original von jaaaa
Aber ich weiss nicht wie es weiter gehen soll.

Zumindest das Einsetzen der Funktionswerte sollte doch kein Problem sein.

Was ist $\begin{eqnarray*} f(0+h)=f(h) \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2018, 14:25

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit zeigen
Nutze dabei auch die Differenzierbarkeit der sinus-Funktion, daß also gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

03.06.2018, 14:47

jaaaa

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RE: Differenzierbarkeit zeigen
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{sin(2(0+h))*cos(0+h)-sin(2(0)*cos(0)}{h} =\frac{sin(0+2h)*cos(0)+cosh-sin(0)*cos(0)}{h} = \frac{0+sin(2h)*1+cosh-0*1}{h} = \frac{sin(2h)+cosh}{h} \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig? Hammer

03.06.2018, 14:49

jaaaa

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RE: Differenzierbarkeit zeigen
mm, aber wo soll ich das benutzen, wo brauche ich das?

03.06.2018, 16:16

Leopold

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RE: Differenzierbarkeit zeigen

Zitat:

Original von jaaaa
Wäre das richtig? Hammer

Da ist so gut wie alles falsch. Am schlimmsten ist, daß du glaubst, Sinus und Cosinus wären linear.

[attach]47351[/attach]

03.06.2018, 17:58

jaaaa

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RE: Differenzierbarkeit zeigen
unglücklich

Wäre das richtig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{ah\to 0} \frac{sin(2(0+h)*cos(0+h)-sin(2(0))*cos(0)}{h} = \frac{sin(0+2h)*cos(0+h)-sin(0)*cos(0)}{h} = \frac{sin(0)*cos(2h)+sin(2h)*cos(0)-0}{h} = \frac{sin(2h)*1}{h} = \frac{sin(2h)}{h} \end{eqnarray*}$

03.06.2018, 18:42

jaaaa

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RE: Differenzierbarkeit zeigen
ich denke nicht mehr, dass kosinus uns Sinus linear sind smile

03.06.2018, 18:43

Leopold

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Irgendwie scheinst du jetzt ein Additionstheorem angewandt zu haben. Immerhin, das ist richtig. Aber andererseits ist das hier vollkommen überflüssig und bläst die einfache Rechnung zu einem Monster auf. Und dabei hast du den Faktor $\begin{align*} \cos(h) \end{align*}$ unter den Tisch fallen lassen. Das Endergebnis ist also wieder falsch. Dabei ist doch alles so einfach: Die Addition von 0 verändert nichts:

$\begin{align*} \frac{\sin \left( 2 \cdot ( \underbrace{0+h}_{=h}) \right) \cdot \cos( \underbrace{0+h}_{=h}) - \sin(2 \cdot 0) \cdot \cos(0)}{h} = \frac{\sin(2h) \cos(h)}{h} \end{align*}$

Und das war schon alles. Um den Grenzwert für $\begin{align*} h \to 0 \end{align*}$ zu bestimmen, verrate ich dir den Umformungstrick:

$\begin{align*} \frac{\sin(2h) \cos(h)}{h} = \frac{\sin(2h)}{h} \cdot \cos(h) = 2 \cdot \frac{\sin(2h)}{2h} \cdot \cos(h) \end{align*}$

Und warum man das so macht, erkennst du vielleicht, wenn du noch einmal den Hinweis von klarsoweit liest.

03.06.2018, 19:15

jaaaa

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danke sehr , damit ist der Grenzwert 2 smile

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