Integration -- ln(x) oder arctan(x)

03.06.2018, 18:26

Philipp2706

Integration -- ln(x) oder arctan(x)

Moin zusammen, smile

ich habe folgende Aufgabe berechnet:
[attach]47352[/attach]
Nach einigen Rechenschritten komme ich zu:
$\begin{eqnarray*} \left [ 3t \right ]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2 + 1} \end{eqnarray*}$
Ab hier habe ich ja Zwei Möglichkeiten, entweder den Nenner substituieren oder den die acrtan-Stammfunktion verwenden.
Ich bekomme aber verschiedene Ergebnisse raus.
Ich muss bei der ersten Möglichkeit "3-ln(2)" noch rücksubstituieren oder ?
Dann würde ich 3-ln(1) rausbekommen also 3.

Bei der Möglichkeit mit arctan, bekomme ich aber was ganz anderes raus. Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?

Ich habe mal alles eingescannt.
[attach]47354[/attach]

Vielen Dank schonmal smile

03.06.2018, 18:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Falsche Durchführung der Substitution in deiner "Möglichkeit 1":

$\begin{eqnarray*} u = t^2+1 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \dd u = {\color{red}2t} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ , das hast du komplett ignoriert und stattdessen mit dem falschen $\begin{eqnarray*} \dd u \stackrel{???}{=} \dd t \end{eqnarray*}$ gerechnet. unglücklich

03.06.2018, 19:47

Philipp2706

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt danke Freude

okay dann ist es ja doch nicht so einfach wie ich gedacht habe.

Kann man die Aufgabe überhaupt so durch Substitution berechnen?

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1} \frac{1}{u} * \frac{du}{2t} \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht wie ich 1/2t substituieren soll verwirrt

Meine Überlegung wäre t^2 + 1 =u nach t aufzulösen. Aber das geht nicht

03.06.2018, 19:59

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Philipp2706
ich weiß nicht wie ich 1/2t substituieren soll verwirrt

Meine Überlegung wäre t^2 + 1 =u nach t aufzulösen. Aber das geht nicht

Doch, das geht. Achte nur auf das richtige Vorzeichen der Wurzel, denn $\begin{align*} t \in [0,1] \end{align*}$ gemäß Integrationsgrenzen.

Die Substitutionsregel ist eigentlich keine Regel, um Integrale zu berechnen, sondern transformiert nur ein Integral in ein anderes. Nur wenn das neue Integral "einfacher" wird, hat man einen Nutzen erzielt. Das ist bei der Substitution hier nicht der Fall.

03.06.2018, 20:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn der $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ hier zum Tragen kommen soll, dann allenfalls über die komplexe Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^2+1} = \frac{i}{2} \left( \frac{1}{t+i} - \frac{1}{t-i} \right) \end{eqnarray*}$ .

Aber da sollte man schon genau wissen, was man tut - und letztlich landet man via Argumentberechnung der komplexen Zahl auch wieder beim $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ , hat also nichts gespart. Augenzwinkern

03.06.2018, 20:16

Philipp2706

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Doch, das geht. Achte nur auf das richtige Vorzeichen der Wurzel, denn $\begin{align*} t \in [0,1] \end{align*}$ gemäß Integrationsgrenzen.
.

v

Ja die Berechnung ist definitiv sehr viel aufwändiger Big Laugh

Ich wollte es nur mal aus Interesse so berechnen.

Vielen Dank euch smile

Neue Frage »

Antworten »

Integration -- ln(x) oder arctan(x)

Verwandte Themen