Maßraum, Ungleichungen mit liminf und limsup

03.06.2018, 20:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßraum, Ungleichungen mit liminf und limsup Hallo Leute, ich sitze gerade an der folgenden Aufgabe:[attach]47356[/attach] Zuerst nehme ich mal an, dass es sich hier nicht um einen W-Raum, sondern um einen Maßraum handeln soll. Sonst wäre der Zusatz, dass $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ endlich ist, doch überflüssig. Meine Ideen zum ersten Teil: Es ist $\begin{eqnarray} \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}A_{n} = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\big(\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_{k}\big) \end{eqnarray}$ Setze: $\begin{eqnarray} B_{k} := \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}A_{k} \Rightarrow B_{k}\subset B_{k+1} \Rightarrow \mu(\lim\limits_{k\rightarrow\infty} B_{k}) = \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mu(B_{k}) \end{eqnarray}$ Dann gilt weiterhin: $\begin{eqnarray} \mu(\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}A_{k}) \overset{1}{=} \mu\big(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=k}^{\infty}A_{k}\big) \overset{2}{=} \mu\big(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}B_{k}\big) \overset{3}{=} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mu(B_{k}) \overset{4}{=} \liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\mu(B_{k}) \leq \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\mu(A_{k}), \text{ da } B_{k}\subset A_{k} \end{eqnarray}$ Ich habe die Schritte jeweils nummeriert, damit man leichter darauf eingehen kann. Was sagt ihr zu der Lösung?

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