Zeigen, dass Funktion kleiner 0 ist

Neue Frage »

twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Funktion kleiner 0 ist
Hallo,

Ich habe folgende Funktion

die man auch wie folgt umschreiben kann



Jetzt würde ich gerne zeigen, dass gilt , wobei wir feste haben.

Konventionelle Methoden aus der Schule/Analysis I helfen mir leider hier nicht weiter, da die Funktion nicht so trivial ist. Dementsprechend müsste man hier kreativ an die Sache ran gehen, ich habe jedoch die letzten paar Wochen sehr viel versucht, bin gescheitert und bräuchte neue Ideen.

Ich habe bereits folgendes versucht:
- Grenzwertverhalten benutzen, einen beliebigen Punkt einsetzen und zeigen, dass es keine Nullstelle gibt (scheitert and er Komplexität der Funktion)
- Grundsätzlich ist es meiner Meinung nach nicht sinnvoll mit Extrema (also Ableitung) zu arbeiten, da die Ableitung noch hässlicher wird
- lr(t) versuchen nach oben abzuschätzen um die Funktion zu vereinfachen. Die Funktion ist jedoch sehr sehr sehr knapp kleiner als 0, sodass keine Abschätzung möglich war
- Die Funktion in mehrere Funktionen aufspalten und dann zeigen, dass die negativen Teile jeweils den positiven Teil dominieren (hat leider auch nicht geklappt)

Anbei befindet sich noch ein Plot für .
Leider darf ich noch keine Bilder posten, aber ihr könnt euch unter
http ://www.bilder-upload.eu/show.php?file=7294d2-1528051908.jpg
angucken, wie die Funktion aussieht. (Leerzeichen entfernen)

Für neue Ansätze wäre ich euch sehr dankbar, vor allem wenn man bedenkt, dass so etwas nicht so große Laune bereitet.

Lieben Gruß
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Ansätzen nach zu urteilen bist du fast schon zu analystisch rangegangen.
Ich hoffe ich habe mich nicht verlesen hier im Garten auf dem Handy, aber:
Schau dir doch mal den ersten, vierten und fünften Summanden in deiner zweiten Darstellung an.
Nun wissen wir doch etwas über die beiden Alphas.
Schätze doch mal alleine den ersten Faktor des ersten Summanden brutal ab (dort sollte meines Erachtens ein Quadrat an Alpha_zwei ).
Was wissen wir außerdem über (1-t)?
 
 
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und vielen Dank für deine Antwort.

Ich verstehe aber leider nicht genau worauf du hinaus möchtest.
Der erste Term (ja, da muss noch ein Quadrat sein) ist immer negativ, der Zweite, Dritte positiv, der Vierte positiv (aber mit minus), der Fünfte negativ (ganz knapp, sieht man wenn man alpha_2 ausklammert). Ich hatte dann versucht diese Terme miteinander zu vergleichen, aber das hat leider nicht funktioniert.



Die Funktion ist übrigens auch nicht konvex (also Jensen nicht anwendbar), nochmal der plot
https: //image.ibb.co/j8jUiJ/hilfe.jpg
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Jegliche Abschätzung nach oben schlägt fehl, z.B. durch (hier wird der erste Term abgeschätzt)



oder

,

wobei hier der letzte Term abgeschätzt wurde. Die Abschätzung des letzten Termes ist ja grade, wegen für \alpha_1 > \alpha_2 die knappstmögliche Abschätzung (wenn \alpha_1 geringfügig größer ist als \alpha_2). Trotzdem werden dann die beiden abgeschätzten Funktionen dann an einigen Stellen größer als 0...
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Da die Abschätzung so unglaublich knapp ist, bin ich mir ziemlich sicher, dass es nur möglich ist dies zu beweisen indem man eine scharfe Ungleichung wie z.B. Jensen anwendet, auch wenn die gesamte Funktion nicht konvex (1-t)^x ist für x > 0 z.b. konvex). Ich hatte einen ähnlichen Fall für so eine Funktion aber mit dreier solcher Terme, wo ich ganz schön Jensen anwenden konnte.

Leider sehe ich nicht genau wie ich die Terme zusammenschreiben kann um einmal Jensen (vielleicht zweimal) anwenden muss.

Viele Grüße,
Ben
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor es in der Versenkung verschwindet, unternehme ich einen letzten Versuch und pushe den Thread wieder auf Seite 1 verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die "krummen" Exponenten wegzukriegen, würde ich das ganze mal anders umschreiben, und zwar gemäß



mit

.

Dabei ist dann zumindest von Polynomstruktur, und es geht angesichts sowie um Argumente sowie , vielleicht (aber vielleicht auch nicht) hilft das die Sache zu bändigen. verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Skizze eines Fastbeweises

Mit Fastbeweis meine ich, es wird bewiesen, dass gilt in , nicht aber . Die Beweisskizze sollte sich problemlos zu einem Beweis in der üblichen mathematischen Strenge verdichten lassen.

Es sei





Damit hat man



ist so aufgeschrieben, dass die Koeffizienten in absteigender Reihenfolge stehen und die Koeffizienten der Potenzen größer Null sind. Es ist natürlich



und man errechnet







Also hat ) bei ein Maximum.

Nun kann man durch rationale Zahlen annähern. Mit



ist dann



ein Polynom in . An der Rangfolge der Exponenten ändert sich dadurch nichts. und damit hat für zwei Vorzeichenwechsel. Damit haben die Näherungspolynome ) nach der Regel von Descartes für 2 oder 0 Nullstellen. Da die Näherungspolynome gleich einer Funktion mit etwas anderem sind, haben sie in eine doppelte Nullstelle. Sie können daher in keine weitere Nullstelle haben. Damit ist aber f(s)>0 in (0,1) ausgeschlossen, denn dann müsste ein Näherungspolynom bei genügender Näherung in (0,1) mindestens eine weitere Nullstelle haben.
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, und erstmal vielen Dank für die coole Idee. Ich habe ganz ehrlich gesagt, nicht mehr mit einer Antwort gerechnet, deshalb habe ich länger hier nicht mehr reingeschaut...

Die Beweisidee sieht auf den ersten Blick ganz gut aus, nur haben wir folgendes Problem:

Für \alpha_2 > \alpha_1 schlägt fehl, ich habe es geplottet für z.B. \alpha_2 = 1.2, \alpha_1 = 1.1
https: //ibb.co/dtfPjd (Leerzeichen entfernen)
Aufgrund der Bildqualität sieht man das nicht so gut, aber in Maple sieht man das deutlich.
Nur funktioniert der Beweis für alle 0.75 < a < 1 ohne Probleme, da die Anordnung der Größe der Exponenten auch analog verläuft, was aber nicht so sein sollte.

Jetzt ist meine Theorie, weshalb der Beweis nicht einwandfrei ist, dass das Polynom g, welches du konstruiert hast, kein Polynom in u ist. Das q hängt nämlich mit u zusammen, ist also in den Koeffizienten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von twicetagram
Für \alpha_2 > \alpha_1 schlägt fehl, ich habe es geplottet für z.B. \alpha_2 = 1.2, \alpha_1 = 1.1

Das entspricht ja auch nicht den Angaben von dir ganz zu Anfang:

Zitat:
Original von twicetagramJ
Jetzt würde ich gerne zeigen, dass gilt , wobei wir feste haben..

Diese Bedingung habe ich bei meiner Beweisskizze explizit benutzt, weil ich vorausgesetzt habe.
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Angaben mögen am Anfang nicht vollständig gewesen sein, aber das hat doch nichts mit der Konstruktion des Beweises zu tun?

Du hast vorausgesetzt, aber der Beweis funktioniert 1 zu 1 auch für den Fall (Es wird nur kritisch an der Anordnung, aber bis a = 0.75 funktioniert es gerade so mit aufsteigenden Exponenten).
Hierfür gilt jedoch nicht, deshalb habe ich gefolgert, dass in dem Beweis etwas nicht stimmt.

Meine erste Vermutung ist, dass es etwas mit der Konstruktion des Polynoms auf sich hat.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von twicetagram
Du hast vorausgesetzt, aber der Beweis funktioniert 1 zu 1 auch für den Fall (Es wird nur kritisch an der Anordnung, aber bis a = 0.75 funktioniert es gerade so mit aufsteigenden Exponenten).

Hast du das nachgeprüft? Bei kann ja z. B. der Exponent größer werden als der Exponent . Und Koeffzienten, die jetzt positiv sind, können dann negativ werden. Es kann sich dann eine andere Zahl von Vorzeichenwechsel des Polynoms ergeben. Die Konstruktion des Polynoms sollte in Ordnung sein. Wo siehst du da Probleme?
twicetagram Auf diesen Beitrag antworten »

Für 0.5 < a < 1 kann 2a+2 nicht größer werden..
Aber in der Tat funktioniert der Beweis dann anders, weil der letzte Koeffizient in der Funktion f(s) negativ wird! smile Man hat dann 1 bzw. 3 VZW nach der Regel von Descartes und es klappt alles wunderbar... Vielen Dank
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »