Invertierbare Matrix über C

04.06.2018, 14:30

YouAndMe

Invertierbare Matrix über C

Hallo,
ich brauche Hilfe bei den folgenden beiden Teilaufgaben. Die Aufgaben sehen gar nicht so kompliziert aus, jedoch fehlt mir irgendwie die Idee, wie ich anfangen könnte.
Wann eine Matrix hermitesch und normal ist, weiß ich, mir fehlt leider nur der Ansatz.

Vielen Dank schon mal für die Hilfe.

04.06.2018, 14:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von YouAndMe
Wann eine Matrix hermitesch und normal ist, weiß ich

Das ist an sich schon der ganze Ansatz!

a) Nimm zunächst an, es gibt solche Matrizen $\begin{eqnarray*} H_1,H_2 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ aus? Und wie kann man das für eine direkte Darstellung von $\begin{eqnarray*} H_1,H_2 \end{eqnarray*}$ basierend auf $\begin{eqnarray*} A,A^* \end{eqnarray*}$ nutzen?

b) Folgt direkt aus den in a) benutzen Darstellungen von $\begin{eqnarray*} A,A^* \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} H_1,H_2 \end{eqnarray*}$ .

P.S. (hinsichtlich der Threadüberschrift): Die Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mag hier gegeben sein, aber sie spielt zumindest für a),b) überhaupt keine Rolle. Augenzwinkern

EDIT: Hmm, mit * meinte ich die Hermitesche Adjunktion. Kann sein, dass die bei euch anders bezeichnet wird, dann ändern wir das.

04.06.2018, 15:59

YouAndMe

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$\begin{eqnarray*} A^{*} \end{eqnarray*}$ hätte dann ja die Form $\begin{eqnarray*} H_{1}^{T} (komplex konjugiert) - iH_{2}^{T} (komplex konjugiert) \end{eqnarray*}$ .

Leider kann ich daraus noch keine genauen Schlüsse ziehen, wie man das für die direkte Darstellung von $\begin{eqnarray*} H_{1}, H_{2} \end{eqnarray*}$ nutzen kann...

04.06.2018, 16:10

HAL 9000

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Doch: Da $\begin{eqnarray*} H_1,H_2 \end{eqnarray*}$ hermitesch sein sollen, gilt für sie ja $\begin{eqnarray*} H_1^* = H_1 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} H_2^* = H_2 \end{eqnarray*}$ , insgesamt daher $\begin{eqnarray*} A^* = H_1 - iH_2 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2018, 16:45

YouAndMe

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Aber was zeigt das denn genau? Das zeigt doch im Grunde genommen erstmal, dass $\begin{eqnarray*} A^{*} \end{eqnarray*}$ auch eine Darstellung hat. Aber ich komme nicht so ganz dahinter, warum A dann wie in der Aufgabe beschrieben dargestellt werden kann. verwirrt

04.06.2018, 16:48

HAL 9000

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Herrje, wie träge denn noch... Aus diesen beiden Darstellungen (als Gleichungssystem begriffen) kann man zu gegebenem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die direkten Darstellungen $\begin{eqnarray*} H_1=\frac{1}{2}\left(A+A^*\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} H_2 = \frac{1}{2i}\left(A-A^*\right) \end{eqnarray*}$ dieser Hermiteschen Matrizen ableiten, womit diese insbesondere auch existieren (was hier ja nachzuweisen war).

04.06.2018, 17:05

YouAndMe

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Achso, vielen Dank für deine Hilfe. b) konnte ich mit den Darstellungen lösen. smile

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