Kreis Umwandlung in Ellipse?

04.06.2018, 21:06

hey

Kreis Umwandlung in Ellipse?

Meine Frage:
Guten Abend

Ich habe folgendes Problem:
Bei einem Kreis zeichne ich verschiedene Sehnen ein. Diese kürze ich dann alle um eine gewisse Länge. Durch ergeben sich neue Punkte. Nun frage ich mich, wie man diese Form beschreiben könnte. Hat sie einen bestimmten Namen? Ich habe versucht, es im LibreCAD nachzukonstruieren, es ist aber scheinbar keine perfekte Ellipse.

Wie könnte man diese Form mit einer Koordinatengleichung beschreiben?

Meine Ideen:
Ich habe versucht, mit der Kreisformel einen Punkt auf dem Kreis zu bestimmen, indem ich ein x wählte. Danach habe ich noch einen zweiten Punkt bestimmt. Dann wollte ich die Form allgemein beschreiben, indem ich Folgende Vektoren zusammengerechnet habe:
der Vektor vom einen Kreispunkt zum anderen minus dessen Einheitsvektor multipliziert mit der zu kürzenden Länge.

Kann man das so machen?

Ich habe versucht das ganze mit dem Taschenrechner nachzuzeichnen, was aber nicht funktionierte. Irgendwie ordne ich ja einem x-Wert nicht einen y-Wert zu, sondern einem Punkt einen neuen Punkt.

Danke für eure Hilfe

04.06.2018, 22:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von hey
Wie könnte man diese Form mit einer Koordinatengleichung beschreiben?

Am einfachsten ist sicher die Polardarstellung

$\begin{eqnarray*} r(\varphi) = d\cos(\varphi)-c \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der Durchmesser des Ursprungskreises, und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Länge, die jeweils abgezogen wird.

Über $\begin{eqnarray*} x(\varphi)=r(\varphi)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y(\varphi)=r(\varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ bekommt man wie üblich dann eine kartesische Parameterdarstellung der Kurve.

Beispiel $\begin{eqnarray*} d=5,c=1 \end{eqnarray*}$ im Bild.

05.06.2018, 06:35

Leopold

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Durch Eliminierung des Parameters $\begin{align*} t \end{align*}$ erhält man die folgende implizite Darstellung:

$\begin{align*} \left( x^2 + y^2 \right)^2 - \left( c^2 + 2dx \right) \cdot \left( x^2 + y^2 \right) + d^2 x^2 = 0 \, , \ \ x^2 + y^2 \leq xd \end{align*}$

Sie ist quadratisch in $\begin{align*} y^2 \end{align*}$ und läßt sich daher mit elementaren Methoden nach $\begin{align*} y \end{align*}$ auflösen.

05.06.2018, 07:47

heyyy

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RE: Kreis Umwandlung Ellipse?
Danke für eure Hilfe.

Den Beitrag von HAL 9000 verstehe ich. Allerdings habe ich Probleme damit, mit den Formeln für x und y einen Graphen zu zeichnen. Wieso setzt man für den Winkel dann t ein? Wieso hast du für deinen Graphen zwei Formeln eingegeben?

Danach habe ich versucht die Formel von Leopold umzustellen, was mir aber auch mithilfe von einem Formelrechner nicht gelungen ist.

05.06.2018, 09:29

Steffen Bühler

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RE: Kreis Umwandlung Ellipse?
Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von heyyy
Wieso setzt man für den Winkel dann t ein?

Weil das unser Plotter so verlangt.

Zitat:

Original von heyyy
Wieso hast du für deinen Graphen zwei Formeln eingegeben?

Weil man das bei solch einer Parameterdarstellung so macht. Nicht alle Kurven lassen sich durch y=f(x) zeichnen. Ein Kreis entsteht zum Beispiel durch y=sin(t) und x=cos(t). Sehr hübsche Lissajous-Figuren kommen übrigens zustande, wenn man die Sinus- und Cosinusterme leicht abwandelt. Das war das erste, was ich auf meinem Amiga in den 80ern programmiert habe...

Zitat:

Original von heyyy
Danach habe ich versucht die Formel von Leopold umzustellen, was mir aber auch mithilfe von einem Formelrechner nicht gelungen ist.

Setze, wie gesagt, z=y², dann erhältst Du eine quadratische Gleichung in z.

Viele Grüße
Steffen

PS: Du bist hier zweimal angemeldet, der User hey wird daher demnächst wieder gelöscht.

05.06.2018, 09:44

HAL 9000

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Leopolds implizite Darstellung (d.h. ohne das $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \leq xd \end{eqnarray*}$ ) umfasst übrigens dann auch noch einen zweiten Kurvenbogen, der aus dem Kreis entsteht, indem man nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ substrahiert, sondern addiert. D.h., beides zusammen ergibt dann die rote Kurve in dem Plot hier:

Zum Vergleich habe ich noch den grünen Ausgangskreis mit eingezeichnet. Der entspricht übrigens $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=xd \end{eqnarray*}$ , somit lässt Zusatzbedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq xd \end{eqnarray*}$ nur das von der roten Kurve übrig, was sich im Kreisinneren befindet. Augenzwinkern

P.S.: Wie man im Plot sieht, umfasst auch die Polardarstellung diesen zweiten Bogen, allerdings in einem Winkelbereich, wo eigentlich "irregulär" $\begin{eqnarray*} r(\varphi)<0 \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

05.06.2018, 17:40

Leopold

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RE: Kreis Umwandlung Ellipse?

Zitat:

Original von heyyy
Danach habe ich versucht die Formel von Leopold umzustellen, was mir aber auch mithilfe von einem Formelrechner nicht gelungen ist.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Setze, wie gesagt, z=y², dann erhältst Du eine quadratische Gleichung in z.

Neben dieser Möglichkeit besteht die Alternative, erst einmal $\begin{align*} p = x^2 + y^2 \end{align*}$ zu substituieren.

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