Zeilensumme =0 , det = 0

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilensumme =0 , det = 0
Hallo zusammen,

ich hänge bei einer Aufgabe fest. Wir haben in der Vorlesung ganz frisch die Determinante eingeführt, allerdings noch nicht die allgemeine Formel dieser.

Aufgabe:

Sei eine Matrix. Sei , die i-te Zeilensumme.

Zeigen Sie:

a) ist für alle , so gilt

b) ist für alle , so gilt

c)Gibt es eine entsprechende Aussage für Spaltensummen statt Zeilensummen ?

zu a) brauche ich dringend Hilfe, da weiß ich überhuapt nicht wie man das zeigt verwirrt

bei der b) brauch man denke ich nur sagen ist eine Matrix mit , da die Subtraktion jeweils die einen Eintrag pro Zeile undzwar der auf der Hauptdiagonalen um eins verringert. Dann folgt der Rest mit a)

c) Vermutung Ja, ich denke dafür sollte ich aber erstmal a beweisen.

Primär , wäre mir also die a) wichtig smile

LG

Snexx_Math
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RE: Zeilensumme =0 , det = 0
Schreib dir mal die i-te Komponente des Produktes der Matrix mit einem Vektor hin.
 
 
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilensumme =0 , det = 0
Welche Eigenschaften der Determinanten habt ihr denn schon kennengelernt?
Ich nehme an, dass du weißt:

1. Man kann das Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren ohne dass sich der Wert der Determinante ändert.
2. Bei Vertauschung von 2 Zelen/Spalten ändert sich der Wert um den Faktor -1
3. Wenn man eine Zeile/Spalte mit einem Faktor a multipliziert, ändert sich der Wert der Determinante um den Faktor a.

Wenn jetzt alle Zeilensummen 0 sind, dann addiere mal die 2. Spalte zur ersten, dann die dritte zur ersten, dann die vierte zur ersten u.s.w.
Was steht danach in der ersten Spalte?

Jetzt multiplizierst du die erste Spalte mit 5. Wie ändert sich dann der Wert der Determinante?

Weißt du jetzt genug, um die Aufgabe a) zu lösen?
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilensumme =0 , det = 0
Zitat:
Original von sixty-four
Welche Eigenschaften der Determinanten habt ihr denn schon kennengelernt?
Ich nehme an, dass du weißt:

1. Man kann das Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren ohne dass sich der Wert der Determinante ändert.
2. Bei Vertauschung von 2 Zelen/Spalten ändert sich der Wert um den Faktor -1
3. Wenn man eine Zeile/Spalte mit einem Faktor a multipliziert, ändert sich der Wert der Determinante um den Faktor a.


Ja diese Aussagen sind bekannt, allerdings nur für Zeilen.

Zitat:
Original von sixty-four
Wenn jetzt alle Zeilensummen 0 sind, dann addiere mal die 2. Spalte zur ersten, dann die dritte zur ersten, dann die vierte zur ersten u.s.w.
Was steht danach in der ersten Spalte?

Jetzt multiplizierst du die erste Spalte mit 5. Wie ändert sich dann der Wert der Determinante?


Das Addieren bewirkt ja eine Summation jeder Zeile mit all ihren Spalten, also müsste in der ersten Spalte jetzt eine Null stehen.

Also sollte sich der Wert der Determinante in diesem Fall nicht ändern , da .
Daraus folgert man dann , dass die Determinante Null ist ?
EDIT: Ja gut oder man sagt, halt, das hatten wir nämlich, wenn eine Matrix eine Nullzeile besitzt , hier Nullspalte , dann ist die Determinante =0.

LG

PS: Ich weiß nur nicht , falls das jetzt richtig ist, ob wir das benutzen dürfen, da wir das ganze nur für Zeilen hatten Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snexx_Math
Ich weiß nur nicht , falls das jetzt richtig ist, ob wir das benutzen dürfen, da wir das ganze nur für Zeilen hatten

Habt ihr denn Eigenschaft kennengelernt, d.h., Determinantengleichheit für die Matrix mit ihrer Transponierten? Das erledigt diese Frage, und im übrigen auch deine Teilaufgabe c).
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilensumme =0 , det = 0
Zitat:
Original von Snexx_Math

Also sollte sich der Wert der Determinante in diesem Fall nicht ändern , da .
Daraus folgert man dann , dass die Determinante Null ist ?


Du meinst das Richtige aber hast es nicht korrekt aufgeschrieben. Wenn eine Spalte aus lauter Nullen besteht und du multiplizierst diese Spalte mit einem Faktor ändert die Determinante ihren Wert einerseits nicht, denn in der Spalte stehen hinterher auch lauter Nullen. Andererseits bekommt die Determinante aber den -fachen Wert, so dass gilt . Daraus folgt dann |A|=0.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilensumme =0 , det = 0
@HAL 9000 :

Nein , das hatten wir leider noch nicht, wäre schön gewesen für die c)

@ sixty-four :

Ich verstehe aber nicht was es bringen soll, so ein dran zu multiplizieren. Kann man nicht einfach , da die Determinante linear ist Folgendes machen:

Sei die Matrix A gegeben durch

Addiert man jede Spalte mit zu der 1. Spalte. So wird die erste Spalte zu einer Nullspalte , da die Zeilensumme für alle Zeilen 0 ist. Wir nennen diese so entstandene Matrix A'.
(mit der Linearität der Determinante) , man darf also , die erste Spalte mit 0 multiplizieren , da dies nichts ändert.
Also kann man

Geht das so ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snexx_Math
Nein , das hatten wir leider noch nicht, wäre schön gewesen für die c)

Dann weist man es halt selber nach - ein kleines nützliches Lemma. Augenzwinkern
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilensumme =0 , det = 0
Zitat:
Original von Snexx_Math
sixty-four :

Ich verstehe aber nicht was es bringen soll, so ein dran zu multiplizieren.


Das habe ich doch ausführlich begründet. Wenn du eine Zahl x mit einer beliebigen Konstante multiplizieren kannst ohne dass sich das Produkt von der Zahl x unterscheidet, dann muss x=0 sein.
Allerdings verstehe ich jetzt deine Beweisführung auch nicht so recht. Aus folgt doch nicht det(A)=0. Das Produkti ist immer 0, egal welchen Wert die Determinante hat.
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