Lipschitz-stetig

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05.06.2018, 12:14

Mad33

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Lipschitz-stetig

Hallo alle zusammen ,kann mir jemand tipps geben wie ich bei der 1 Funktion das überprüfe?

05.06.2018, 13:18

HAL 9000

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Bei einer differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf einem Gebiet $\begin{eqnarray*} D\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ kann man die Frage nach der Lipschitzstetigkeit in der Regel an der Beschränktheit des Gradienten festmachen - genauer:

a) Ist $\begin{eqnarray*} L:=\sup_{x\in D} \left\| \nabla f(x)\right\|_2 \end{eqnarray*}$ endlich, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lipschitzstetig mit genau diesem $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als passender Lipschitzkonstante.

b) Ist hingegen $\begin{eqnarray*} L=\infty \end{eqnarray*}$ , so sucht man sich (in der "Nähe" unbeschränkt wachsender $\begin{eqnarray*} \nabla f(x) \end{eqnarray*}$ ) am besten ein Gegenbeispiel in Form eine Doppelfolge $\begin{eqnarray*} (x_n),(y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{|f(x_n)-f(y_n)|}{\left\|x_n-y_n\right\|_2} \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Beispiel $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ : Es ist $\begin{eqnarray*} \nabla f_1 = \left(4x^3y,x^4\right)^T \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \left\| \nabla f_1\right\|_2 \leq \left\| \nabla f_1\right\|_1 = 4|x|^3|y|+|x|^4\leq 5 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig, eine passende Lipschitzkonstante ist $\begin{eqnarray*} L=5 \end{eqnarray*}$ .

Auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ hingegen nicht Lipschitzstetig, denn es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\left| f_1(1,n)-f_1(0,n) \right|}{\left\|(1,n)-(0,n)\right\|_2} = n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

05.06.2018, 16:35

Mad33

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Gut fangen wir mit dem ersten an :

f1(x,y) = x^4*y

Was soll ich mit diesem Term genau machen ?

05.06.2018, 16:46

HAL 9000

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Ich habe gerade ausführlich über dieses $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Ist schon sehr merkwürdig (um nicht zu sagen ignorant), dass du das komplett ausblendest.

05.06.2018, 18:46

Mad33

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Du leitest einmal ab (4x^3y,...warum wieder x^4)

Verstehe net warum das x^4 her kommt?

05.06.2018, 19:19

HAL 9000

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Upps, ich sehe gerade "Lipschitz-stetig bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ". Ich hatte angenommen, generell Lipschitz-stetig - Ok, dann muss man alles etwas anders aufziehen, einfacher:

Da es nur um die zweite Komponente $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geht, ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ (also n=2) das obige $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} L := \sup_{(x,y)\in D} \left| \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) \right| \end{eqnarray*}$

zu ersetzen, der Rest dürfte so ähnlich immer noch stimmen.

Im Falle von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ geht es dann also um das Verhalten von $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\partial}{\partial y} f_1(x,y) \right| = |x|^4 \end{eqnarray*}$ in den gegebenen Gebieten $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

05.06.2018, 20:05

Mad33

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4x^3y = x^4

Wie weiter dann?

06.06.2018, 00:04

Mad33

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Noch da Hall ?

06.06.2018, 09:59

Mad33

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Jemand da leute oder habt ihr aufgegeben?

06.06.2018, 10:03

HAL 9000

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Ja was denn, kannst du denn nach all der Vorrede nicht mal ein bisschen selbstständig arbeiten?

Zitat:

Original von HAL 9000
Im Falle von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ geht es dann also um das Verhalten von $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\partial}{\partial y} f_1(x,y) \right| = |x|^4 \end{eqnarray*}$ in den gegebenen Gebieten $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} L = \sup_{(x,y)\in R} |x|^4 =1 \end{eqnarray*}$ , auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aber ebenso $\begin{eqnarray*} L = \sup_{(x,y)\in S} |x|^4 =1 \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir auf beiden Gebieten für $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ Lipschitz-Stetigkeit bzgl. der Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mad33
Noch da Hall ?

Und bitte den Namen richtig schreiben. Ich nenne dich ja auch nicht "Mudd".

06.06.2018, 13:05

Mad33

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Oh stimmt Hal Big Laugh

War ein Versehen .

Wieso aber x^4 =1

Wieso gleich 1 gesetzt ?

Ich verstehe es nicht traurig

06.06.2018, 13:22

HAL 9000

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Sowohl für Gebiet $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ steht $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ in der Gebietsdefinition.

Was bedeutet das für die möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ ? Und anschließend für die möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} |x|^4 \end{eqnarray*}$ , und somit dessen Supremum (=Maximum) über das jeweils betrachtete Gebiet?

06.06.2018, 22:04

Mad33

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Das bedeutet auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} L = \sup_{(x,y)\in R} |x|^2=1 \end{eqnarray*}$ , auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aber ebenso $\begin{eqnarray*} L = \sup_{(x,y)\in S} |x|^2=1 \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir auf beiden Gebieten für $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ Lipschitz-Stetigkeit bzgl. der Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Oben für den 2 Fall passt ?

Habe einfach den Ansatz fast zitiert Big Laugh

07.06.2018, 10:16

Mad33

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Richtig Hal?

07.06.2018, 10:31

HAL 9000

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Wovon redest du? Jedenfalls nicht mehr von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , denn dort war ja wie bereits oben festgestellt. $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\partial}{\partial y} f_1(x,y) \right| = |x|^4 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} |x|^2 \end{eqnarray*}$ . Von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ aber auch nicht, denn dort ist $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\partial}{\partial y} f_2(x,y) \right| = |2x^2y| = 2|x|^2|y| \end{eqnarray*}$ . Und was sollen abgebrochene Sätze wie

Zitat:

Original von Mad33
Oben für den 2 Fall passt ?

überhaupt bedeuten? Drück dich mal in lesbaren Sätzen aus, statt in diesem fragmentarischen Stil, den man erst enträtseln muss - dann antworte ich auch eher. unglücklich

07.06.2018, 15:51

Mad33

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L = |2x^2| = 1
L= |x| = sqrt(0,5)
L= |y| = 1

So würde ich es sagen für beide Fälle ?

07.06.2018, 15:58

HAL 9000

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Der Appell war offenbar für die Katz, ein letztes Mal: Jeweils dazusagen, über welche Funktion du redest, auf welchem Bereich die Abschätzungen gerade statt finden und und und - nochmal halte ich diese Predigt nicht, d.h., wenn ich nicht mehr antworte dann weißt du, dass du dir einen nachsichtigeren Helfer suchen musst.

07.06.2018, 16:45

Mad33

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Gut nächster Versuch bisschen ausführlicher Big Laugh

f2(x,y) = x^2y^2

f2'(x) = 2xy^2

Die Grenzen sind wieder im Intervall -1 bis 1

Für den Fall 1:
L = |2x^2| = 1
L= |x| = sqrt(0,5)
L= |y^2| = 1 wenn man das quadrat aufheben muss wäre das : L= |y| = 1 Oder lässt man das Quadrat oder was im Exponenten immer stehen?

Fall -1:
L = |2x^2| = -1
L= |x| = sqrt(-0,5) kein Wert möglich oder imaginär?
L= |y^2| = -1

Bisschen besser ?

07.06.2018, 16:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mad33
f2'(x) = 2xy^2

Es geht hier um die Lipschitz-Stetigkeit bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ statt der nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu bilden.

Zitat:

Original von Mad33
L = |2x^2| = 1
L= |x| = sqrt(0,5)

Was verdammt nochmal tust du hier??? Es ist das Supremum des Betrages der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Ableitung auf dem jeweiligen Gebiet zu berechnen - NICHT eine Gleichung L=1 zu lösen, oder was immer du hier zu tun gedenkst. So einen Mist habe ich oben nirgends erzählt. unglücklich

Zitat:

Original von Mad33
Bisschen besser ?

Ja, wenigstens von der Form. Jetzt versteht man ein wenig, was für wirre Gedanken da in deinem Kopf rumschweben und kann das zielgerichtet ansprechen.

07.06.2018, 17:18

Mad33

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Wieso muss ich in diesem Fall jetzt nach y ableiten ?
Woher weiss du das ?

f2(x,y) = x^2y^2

f2'(x,y) = 2x^2*y

Ok was muss ich dann hier beim Supremum Fall machen ?

Das ?

L = |x^2|=.....

L =|y|= ....

traurig

07.06.2018, 17:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mad33
Wieso muss ich in diesem Fall jetzt nach y ableiten ?
Woher weiss du das ?

Willst du jetzt die gesamte Theorie hören? Wie man aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein solches hinreichendes Kriterium für Lipschitzstetigkeit basteln kann, wie ich es oben genannt habe? Dann lies dir das selber mal an, irgendwann ist es hier im Forum genug.

07.06.2018, 17:32

Mad33

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Was soll ich machen Hal ?
In der heutigen Zeit werden in den Vorlesungen nur PowerPoint Folien vorgetragen wodurch man halt auch durch den Vorlesungsbesuch dumm nach Hause kommt .

Irgendwie muss ich es ja versuchen zu verstehen

07.06.2018, 17:33

HAL 9000

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Dann besorg dir ein Lehrbuch, oder recherchier im Internet ... ich kann die Vorlesungen nicht ersetzen.

07.06.2018, 17:37

Mad33

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L = |x^2|=.....

L =|y|= .

Soll ich die beiden Werte nicht = 1 setzen ?
Weil unser Intervall ist doch -1 bis 1

07.06.2018, 17:51

HAL 9000

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Wir reden hier über $\begin{eqnarray*} L = \sup_{(x,y)\in R} \left| \frac{\partial}{\partial y} f_2(x,y) \right| = \sup_{(x,y)\in R} \left| 2x^2y \right| \end{eqnarray*}$ und du taperst mit $\begin{eqnarray*} L=|x^2| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} L=|y| \end{eqnarray*}$ durch die Gegend ... nein, mir reichts, zuviel Blindflug.

@alle

Ich lade alle verständnisvolleren Helfer als mich ein, hier zu übernehmen. Vielleicht ist es auch die Hitze, die mich dies hier nicht mehr ertragen lässt.

07.06.2018, 19:29

Mad33

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Ich weiss es auch nicht mehr weiter traurig

09.06.2018, 13:18

Mad33

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Will jemand übernehmen ?

09.06.2018, 14:19

Huggy

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Ich jedenfalls nicht.

Du hast hier und in diesem Thread

Picard Lindelöf

gezeigt, dass du offenbar nicht in der Lage bist, selbst der ausführlichsten Hilfestellung zu folgen. Das mag nicht deine Schuld sein, aber es macht es unmöglich, dir zu helfen. Du musst erst mal elementare mathematische Grundlagen nachholen, bevor du dich mit Lipschitzstetigkeit und Picard-Lindelöf beschäftigen kannst.

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