Feldlinien zeichnen

05.06.2018, 17:24

Kathreena

Charakterisieren Sie die Feldlinien des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R ^2 , g(x,y) = (e^xy,x) \end{eqnarray*}$ und skizzieren Sie drei verschiedene von ihnen.

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^xy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! e^xy \, dy = \int x dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \frac{y^2}{2} -\frac{x^2}{2} = C \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun für C=1, C=2, C=3 zeichnen will, wie macht man das ohne eine Software ?

Dann hab ich ja für jede Konstante unendlich viele Lösungen.

Ok, ich weiß jetzt das man das nach y umformt und nach x.

also $\begin{eqnarray*} y = \frac{2C+x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$ und dann einfach C = 0, C = 1, C = 2 und den graphen zeichnen.

Und das gleiche für x.
Aber wie ich das nach x umformen soll, check ich nich.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

06.06.2018, 09:47

Huggy

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{e^xy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! e^xy \, dy = \int x dx \end{eqnarray*}$

So kannst du auf der linken Seite nicht integrieren, denn da stände im Integranden noch die unbekannte Funktion $\begin{eqnarray*} x(y) \end{eqnarray*}$ . Schau dir noch mal an, wie das mit der Trennung der Variablen geht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^x \frac{y^2}{2} -\frac{x^2}{2} = C \end{eqnarray*}$

Deshalb ist das nicht richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2C+x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$ und dann einfach C = 0, C = 1, C = 2 und den graphen zeichnen.

Richtig, vorausgesetzt du ermittelst vorher das korrekte $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und das gleiche für x.
Aber wie ich das nach x umformen soll, check ich nich.

Wieso denn das? Das ergäbe doch dieselben Feldlinien, nur mit der Umkehrfunktion dargestellt.

06.06.2018, 16:42

Kathreena

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Danke, hab ich vergessn, das man da ganz genau trennen muss, eh logisch.

Da komm ich dann auf

$\begin{eqnarray*} y'(x) = \frac{x}{e^x \cdot y(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x) \cdot y(x) = x \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int y(x) dy= \int x \cdot e^{-x} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{C-(x+1) \cdot e^{-x}} \end{eqnarray*}$

06.06.2018, 16:50

HAL 9000

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Aufpassen beim unbedachten Wurzelziehen - je nach Anfangswert kann auch eine negative Lösung in Frage kommen, also auch

$\begin{eqnarray*} y(x) = -\sqrt{2C-2(x+1)\cdot e^{-x}} \end{eqnarray*}$

ist Lösungsfunktion.

06.06.2018, 18:42

Huggy

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Noch zur Illustration:

[attach]47396[/attach]

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