Berechnung im undefinierten Viereck

05.06.2018, 16:35

cstian

Berechnung im undefinierten Viereck

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Gegeben seien: a, b, c, alpha und beta
Gesucht ist: b1

Leider tappe ich bei der Berechnung der Strecke b1 im Dunkeln. Aufgrund der zwei möglichen Lösungen des Vierecks ergeben sich ja auch zwangsläufig zwei Lösungen für b1. Leider bekomme ich den Ansatz dafür nicht zu Ende gedacht.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, die Strecken b und d über c hinaus bis zu deren Schnittpunkt (Winkel im Schnittpunkt sei epsilon genannt) zu verlängern. Durch die anliegenden Winkel alpha' und beta' komme ich mittels Strahlensatz auf:

b1= sin(alpha')*d/sin(beta')

Hier endet mein Lösungsansatz, da ich d nicht berechnet bekomme. Ich würde mich über eure Hilfe freuen

06.06.2018, 00:19

mYthos

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Du hast NICHT geschrieben, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ als ein rechter Winkel gegeben ist.
Nur dann kann auf die beschriebene Weise der Strahlensatz angewandt werden.

Ausserdem fehlen in deiner Skizze die Bezeichnungen für die Eckpunkte, A bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , B bei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , usw.
---------------

Berechne zunächst im Dreieck ABC die Diagonale $\begin{eqnarray*} e = AC \end{eqnarray*}$ (cos-Satz mit a, b, $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ )

Damit den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ = CAB, $\begin{eqnarray*} \alpha_2 = \alpha - \alpha_1 \end{eqnarray*}$

Letztendlich wird im Dreieck ACD zuerst der Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ (sin-Satz mit c, e, $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ ) und anschließend $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ abermals mit dem sin-Satz berechnet.

mY+

06.06.2018, 08:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Letztendlich wird im Dreieck ACD zuerst der Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ (sin-Satz mit c, e, $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ )

Je nach Datenlage kann man hier auch in sSw landen, d.h., gegebenfalls mit mehreren Lösungen. Dann wird es allenfalls durch Zusatzforderungen wie etwa " $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ spitzwinklig" wieder eindeutig.

EDIT: Ach Ok, das hast du ja oben schon erkannt. Ja, das ist dann eben die Verzweigung, die zu den beiden Lösungen führt.

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Ebenfalls denkbar:

Verlängere die Seiten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nach links, die Verlängerungen treffen sich dann irgendwann im Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABS \end{eqnarray*}$ hat man via WSW im Griff, anschließend kennt man vom Dreieck $\begin{eqnarray*} SCD \end{eqnarray*}$ die zwei Seiten $\begin{eqnarray*} |SC| \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |CD|=c \end{eqnarray*}$ als auch den Winkel $\begin{eqnarray*} |\angle CSD| = \alpha+\beta-180^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Da ist dann wieder sSw, diesmal im Dreieck $\begin{eqnarray*} SCD \end{eqnarray*}$ .

06.06.2018, 10:59

riwe

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analytisch geht´s auch Augenzwinkern

mit dem Lösen der quadratischen Gleichung hat man das gesuchte Zeugs

06.06.2018, 16:12

cstian

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Vielen Dank für eure schnelle und sehr kompetente Hilfe!

mYthos, entschuldige meine fehlende Angabe von $\begin{eqnarray*} \beta = 90° \end{eqnarray*}$ . Über deine Tipps bin ich weiter gekommen und konnte b1 in Abhängigkeit zu den gegebenen Werten aufstellen.

Letztendlich führt aber auch der analytische Weg nach Rom Big Laugh

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