Zwei fast überall gleiche Funktionen und Messbarkeit

05.06.2018, 17:18

forbin

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Zwei fast überall gleiche Funktionen und Messbarkeit

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe vor mir:
[attach]47385[/attach]

Wir haben also einen Maßraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\frak{A},\mathbb P) \end{eqnarray*}$ und zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f, g : \Omega\rightarrow\Omega \end{eqnarray*}$ .
Diese sind fast überall gleich $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \exists N: \mu(N) = 0 \text{ und } \forall n\in N^{C} : f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$
Nun, zur Messbarkeit habe ich folgende Definition:
$\begin{eqnarray*} \text{f messbar } :\Leftrightarrow f^{-1}(A)\in \frak{A} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall A \in\frak{A} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider keinen geeigneten Ansatz.
Ich dachte, ich wähle eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} N_{1}\subset N \end{eqnarray*}$ und schaue mir an, was mit dieser passieren kann, wenn ich die Funktion g darauf anwende.
Aber dazu kann ich ja in dieser allgemeinen Form nichts sagen, oder?
Ist der Ansatz so überhaupt der richtige?

05.06.2018, 19:01

Guppi12

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Hallo,

du hast eine falsche Definition von "fast überall gleich". Die richtige ist: Es gibt eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in N^c \end{eqnarray*}$ . Der springende Punkt ist, dass eine Nullmenge nicht messbar sein muss. Eine Nullmenge ist definiert als eine Teilmenge einer messbaren Menge mit Maß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das hilft dir, deinen Ansatz zu korrigieren.

06.06.2018, 11:10

forbin

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Guppi, danke für deine Antwort.
Leider steige ich da nicht durch. Beziehst du den „springenden Punkt“ auf die falsche Definition oder auf die Lösung der Aufgabe? (Natürlich wird das eine in‘s andere spielen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber ich möchte es verstehen).
Zu deinem Punkt mit der falschen Definition:
Was ich ja geschrieben habe war, dass es eine Menge gibt, die Maß Null hat.
Ob messbar oder nicht, ist ja dort selbst nicht gefordert. Also via Definition ist es eine nullmenge.
Und für alle Elemente des Komplementes dieser Menge gilt: f=g
Damit sind f und g fast überall gleich.

Da steckt schon der Fehler drin sagst du? verwirrt

verwirrt

06.06.2018, 14:23

Guppi12

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Du hast $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Das geht aber nicht, wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht messbar ist, dann ist die linke Seite dieser Gleichung undefiniert, da $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ für messbare Mengen definiert ist.

Zur Aufgabe: Ich würde es mir einfach machen und $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ definieren. Jetzt such dir eine passende Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und definiere $\begin{eqnarray*} g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

06.06.2018, 15:02

forbin

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Ah, wunderbar! Freude

Freude

Cool, danke für die Korrektur und den Hinweis der Definition.

Zur Aufgabe:
Ich wähle $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R, \frak{A} = \frak{B}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} N = \left\{1\right\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = \begin{cases} 1 , x\in N \\ 0, sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hm, das wird nicht das Richtige sein, denn N ist ja nun messbar. Aber du wolltest mich ja in eine andere Richtung schubsen?

06.06.2018, 17:26

Guppi12

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Da wirst du nochmal nachdenken müssen. Du hast schon ganz richtig erkannt: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ messbar ist hier irgendwie nicht so gut.

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06.06.2018, 18:53

forbin

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Puh, da fehlt mir leider doch zuviel für, wie ich merke.
Ich könnte jetzt nur drauflos raten, aber das ist ja nicht der Sinn.
Aber danke!

06.06.2018, 19:43

TM2

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Zitat:

Original von Guppi12

du hast eine falsche Definition von "fast überall gleich". Die richtige ist: Es gibt eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in N^c \end{eqnarray*}$ . Der springende Punkt ist, dass eine Nullmenge nicht messbar sein muss. Eine Nullmenge ist definiert als eine Teilmenge einer messbaren Menge mit Maß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Verzeiht mir meine Zwischenfrage, aber entweder bin ich blöd oder steh gerade auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

Deine Definition von "fast überall gleich" ist doch: Es gibt eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$ (das ist doch genau die Definition einer Nullmenge verwirrt

verwirrt

) mit $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in N^c \end{eqnarray*}$
Oder auch kurz geschrieben:
$\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ fast überall gleich $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall x\in N^c \end{eqnarray*}$ und wo ist jetzt der Unterschied zu der Eingangs von forbin gegebenen Definition? Ich raffs nicht... unglücklich

unglücklich

06.06.2018, 20:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von TM2
d.h. $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$ (das ist doch genau die Definition einer Nullmenge verwirrt

verwirrt

)

Nein, eben nicht, sondern die von Guppi12 angegebene

Zitat:

Original von Guppi12
Eine Nullmenge ist definiert als eine Teilmenge einer messbaren Menge mit Maß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

In einem vollständigen Maßraum gibt es zwischen beiden Auffassungen keinen Unterschied,

Ist der Maßraum jedoch nicht vollständig, dann gibt es tatsächlich Teilmengen von Mengen mit Maß 0, die nicht in der zugehörigen Sigma-Algebra liegen, mithin also nicht messbar sind. Gemäß der Definition werden solche Mengen dann aber dennoch auch als Nullmengen bezeichnet.

Bekanntes Beispiel eines nicht vollständigen Maßes ist z.B. das Borelmaß im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ : Zur Illustration dessen nehme man eine nicht-Borel-messbare Menge A des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ (sowas gibt es, ziemlich eklig zu konstruieren) und mit der konstruieren wir per kartesischem Produkt $\begin{eqnarray*} B = A\times \{0\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht Borel-messbar. Nun ist aber $\begin{eqnarray*} B\subset \mathbb{R}\times \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda^{(2)}(\mathbb{R}\times \{0\}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwar nicht Borel-messbar, ist aber dennoch eine (zweidimensionale) Borel-Nullmenge, und liegt damit auch in der vervollständigten Lebesgue-Sigmaalgebra.

06.06.2018, 20:49

TM2

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HAL 9000, ich danke dir, jetzt ist alles klar bei mir.

Habe jetzt auch noch einmal in meine Unterlagen geschaut und tatsächlich hatten wir das exakt so - wie ihr gesagt habt - definiert. Erschreckend wie viel ich schon nach wenigen Jahren wieder vergessen habe unglücklich

unglücklich

forbin, noch einmal Verzeihung für das "Missbrauchen" des Threads.

06.06.2018, 20:58

forbin

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Aber ganz und gar nicht. Mit jeder Antwort lerne ich ja auch dazu smile

smile

dazu

smile

06.06.2018, 21:13

Guppi12

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Also ich verstehe nun wirklich das Problem nicht.

Du musst doch nur das gleiche Beispiel wie oben nehmen, nur für irgendeine nicht messbare Nullmenge, dann bist du fertig.

06.06.2018, 21:32

forbin

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Das ist genau das Problem. Mit diesen habe ich so Probleme. Beim letzten Mal sollte eine solche konstruiert werden. Das bekomme ich absolut nicht hin.
Ich bin aber bereit das zu wiederholen, ich möchte das lernen und verstehen. Ich finde es nur für mich so ärgerlich dass davon jetzt die ganze Aufgabe nicht klappen wird.
Ich will ja auch hier keine musterlösungen abgreifen.

06.06.2018, 21:41

Guppi12

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Ok, noch ein Hinweis:

Nimm $\begin{eqnarray*} \Omega = \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal A = \{\emptyset, \Omega\} \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \mu = 0 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2018, 21:53

forbin

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Also ich wähle den Raum so wie von dir vorgeschlagen.
Und die Funktionen f und g so wie oben definiert.
Nun ist das Maß von Omega gleich null und das Maß der leeren Menge (natürlich) ebenso.
Nun wähle ich eine nicht-messbare teilmenge N von Omega?

06.06.2018, 21:55

Guppi12

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Der Rest muss jetzt von dir selbst kommen. Wie wählst du $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und warum erfüllt das das gewünschte?

06.06.2018, 22:00

forbin

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Das ist ja das Problem, ich habe doch jetzt nur vier mögliche teilmengen. Omega, leere Menge, {0} und {1}.
Ich setze doch komplett falsch an, aber ich weiß einfach nicht wo

06.06.2018, 22:14

Guppi12

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Ich hab dir den Tipp ja nicht aus Spaß gegeben. Eine der 4 möglichen Teilmengen tuts also. Du hast nur endliche viele Möglichkeiten, um zu überprüfen, für welche der Teilmengen sich ein Beispiel ergibt.

06.06.2018, 22:17

forbin

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Aber eben habe ich ja N={1} gewählt
Das war nicht das richtige, weil es messbar ist.
Aber das sind die anderen drei doch eben auch?
(Irgendeine wohl nicht, sonst hättest du mir den Tipp ja nicht gegeben....)

06.06.2018, 22:41

Guppi12

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Wir sind doch hier in einem ganz anderen Maßraum. Du hattest oben die Borel-Sigma-Algebra und $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ ist Borel-messbar. Das hat nichts damit zu tun, ob $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ bezüglich der hier gegebenen Sigma-Algebra messbar ist. Du müsstest also mal überprüfen, ob das der Fall ist.

06.06.2018, 23:01

forbin

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Es dämmert...

$\begin{eqnarray*} g^{-1}( \left\{0\right\}) = \left\{1\right\}\notin\frak{A} \end{eqnarray*}$ und damit nicht messbar bezüglich dieser Sigma-Algebra?

06.06.2018, 23:22

Guppi12

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Wenn du $\begin{eqnarray*} g(1) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ hast, dann ja.

06.06.2018, 23:27

forbin

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War doch gar nicht so schwer Big Laugh

Big Laugh

Nein quatsch, vielen Dank für die Geduld und die Unterstützung ! Freude

Freude

07.06.2018, 17:21

Guppi12

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Hey,

ich wurde darauf hingewiesen, dass beide Definitionen doch äquivalent sind.

Wenn man eine Nullmenge findet, so dass f,g außerhalb davon gleich sind, findet man auch immer eine messbare Nullmenge, so dass f,g außerhalb gleich sind. Die Bedingung, dass die Mengen außerhalb gleich sind, wird schließlich schwächer, wenn man die Nullmenge vergrößert, so dass sie messbar wird.

Als ich deine Definition gelesen habe, habe ich im Kopf deine Bedingung gelesen als $\begin{eqnarray*} \mu(\{x: f(x)\neq g(x)\}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Dies wäre dann nicht äquivalent, stand da aber auch gar nicht.

Entschuldigung für die Verwirrung.

11.06.2018, 22:40

forbin

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Danke für den Nachtrag.
Wir waren heute in der Besprechung und unser Tutor sagt, dass sei so kein Gegenbeispiel, da nur das Urbild von Mengen, die in der Sigma-Algebra liegen, wieder in dieser liegen muss... verwirrt

verwirrt

12.06.2018, 08:10

Guppi12

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Da hat dein Tutor Recht. Wir haben übersehen, dass der Start- und Zielraum gleich sein sollen. Unser Beispiel ist nicht messbar bezüglich der Borel Sigma Algebra als Bild-Sigma Algebra.

12.06.2018, 12:40

forbin

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Ok, ich werde mich damit nochmal intensiv auseinandersetzen.
Vielen Dank für die Mühen und den Nachtrag! Freude

Freude

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