Parameter bestimmen

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06.06.2018, 10:12	jojohassel	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameter bestimmen Meine Frage: Hi, ich hab eine Frage bei der ich leider nicht mal weiß wie ich ansetzen muss... Q=aX^b/(c+X^b) Q=294765;X=33 Q=287857;X=30 Q=279500,X=27 Ich habe für Q und X jeweils drei Werte gegeben. Kann ich daraus a,b und c bestimmen und wenn ja wie? Ich entschuldige mich für mein Unwissen und hoffe auf Hilfe. Besten Dank! Meine Ideen:* Ich wollte es mit ln lösen, aber ich bleibe hängen bei: ln(Q)=ln(a)+b*ln(X)-ln(c+X^b) Wie gehe ich weiter vor, wenn ich den ln einer Summe habe??
06.06.2018, 10:33	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameter bestimmen Willkommen im Matheboard! Ich würde erst einmal umformen: $\begin{eqnarray} Q=\frac {a \cdot X^b}{c+X^b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to Q \cdot (c+X^b) = a \cdot X^b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to Q \cdot c+ Q \cdot X^b = a \cdot X^b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to a \cdot X^b - Q \cdot X^b = Q \cdot c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to X^b = \frac {Q \cdot c}{a-Q} \end{eqnarray}$ Jetzt geht es leichter, oder? Viele Grüße Steffen
06.06.2018, 10:49	jojohassel2	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir leid, leider nicht Mein Ansatz war es in ein lineares Gleichungssystem zu überführen und dann dies zu lösen um a,b und c zu bestimmen. Fettes Sorry für mein beschränktes Mathewissen...
06.06.2018, 11:04	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja auch nicht leicht geworden, nur leichter. Aus der letzten Zeile ergibt sich nun doch $\begin{eqnarray} b \cdot \ln X = \ln (Q \cdot c)- \ln (a-Q) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to b = \frac {\ln (Q \cdot c)- \ln (a-Q)}{\ln X} \end{eqnarray}$ Mit den Zahlen der ersten Gleichung eingesetzt: $\begin{eqnarray} b = \frac {\ln (294765 \cdot c)- \ln (a-294765)}{\ln 33} \end{eqnarray}$ Damit ist schon mal b isoliert.
06.06.2018, 11:28	jojohassel3	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich weiß überhaupt nicht auf was man jetzt hinaus will... Die einzige Möglichkeit die ich damals in der Schule gelernt habe ist die Koeffizienten mit einem linearen Gleichungssystem zu lösen. Wenn ich jetzt b isoliert habe weiß ich leider nicht was der nächste Schritt seien muss. Da für die Geduld und VG
06.06.2018, 11:44	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja auch kein lineares Gleichungssystem. Daher ist auch gar nicht gesagt, ob Du hier eine analytische Lösung findest oder über Näherungsverfahren arbeiten musst. Mit dem isolierten b gehst Du jetzt in die zwei folgenden Gleichungen und hast somit nur noch zwei Unbekannte. Dann isolierst Du die nächste Unbekannte in der zweiten Gleichung und setzt das in die dritte. Dann sehen wir weiter.
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06.06.2018, 12:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder so: Zunächst kann man die Struktur vereinfachen zu $\begin{eqnarray} Q = \frac{a}{1+cX^{-b}} \end{eqnarray}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ durch eine einfache Quotientenbildung eliminieren: $\begin{eqnarray} \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1+cX_2^{-b}}{1+cX_1^{-b}} \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} c = \frac{Q_1-Q_2}{Q_2X_2^{-b}-Q_1X_1^{-b}} \end{eqnarray}$ . Gleichsetzung mit dem analog gewonnenen $\begin{eqnarray} c = \frac{Q_1-Q_3}{Q_3X_3^{-b}-Q_1X_1^{-b}} \end{eqnarray}$ eliminiert auch noch $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ , es verbleibt eine nichtlineare Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{Q_1-Q_2}{Q_2X_2^{-b}-Q_1X_1^{-b}} = \frac{Q_1-Q_3}{Q_3X_3^{-b}-Q_1X_1^{-b}} \end{eqnarray}$ . Das kann man noch etwas freundlicher schreiben (quotientenfrei) $\begin{eqnarray} (Q_2-Q_3)Q_1X_1^{-b} + (Q_3-Q_1)Q_2X_2^{-b} + (Q_1-Q_2)Q_3X_3^{-b} = 0 \end{eqnarray}$ , nichtsdestotrotz wird man ein numerisches Näherungsverfahren bemühen müssen, um daraus $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ zu bestimmen.
06.06.2018, 13:11	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier hilft übrigens Herr Brünner gern.
06.06.2018, 13:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss natürlich aufpassen, es tummeln sich da auch Scheinlösungen: $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ ist z.B. Lösung letztgenannter Gleichung, aber nicht des Ausgangsproblems.

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