Verteilungsfunktion

06.06.2018, 14:42	Lauraundlisa1	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion Hallo alle zusammen ich habe die folgende Aufgabe vollständig bearbeitet und würde gerne wissen ob diese richtig ist. zu a) Muss nicht besprochen. Ist klar. zu b) i) Rechtsseitig Stetig: $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ ist die Stetigkeit klar. Also Sei $\begin{eqnarray} x_{0} = 0 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} (1-e^{-x}-xe^{-x}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} (1-e^{0}-0e^{0}) \end{eqnarray}$ = 0= F(0) zu ii) z.z $\begin{eqnarray} F(x)= 1-e^{-x}-xe^{-x} \end{eqnarray}$ Monoton Wachsend. Es gilt: $\begin{eqnarray} F'(x)=xe^{-x} \end{eqnarray}$ , da x>0 und e^{-x} stets Positiv ist is das Produkt Positiv. Somit gilt $\begin{eqnarray} xe^{-x} >=0 \end{eqnarray}$ also Monoton Wachsend. iii) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } F(x) = \lim_{x \to -\infty } 0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty } F(x) = \lim_{x \to +\infty } (1-e^{-x}-xe^{-x}) \end{eqnarray}$ Ansatz: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty } 1- \lim_{x \to +\infty }e^{-x}- \lim_{x \to +\infty }xe^{-x} \end{eqnarray}$ Um diesen Grenzwertsatz anzuwenden müssen wir überprüfen ob $\begin{eqnarray} - \lim_{x \to +\infty }xe^{-x} \end{eqnarray}$ konvergiert. Es gilt: $\begin{eqnarray} xe^{-x}=\frac{x}{e^x} \end{eqnarray}$ Die Vor. für Bernouli Hospital sind erfüllt. Hier haben wir den Fall $\begin{eqnarray} "\frac{\infty }{\infty }" \end{eqnarray}$ und es folgt -> $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ was offensichtlich für x->unendlich gegen 0 geht. Also haben wir insgesamt $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty } 1- \lim_{x \to +\infty }e^{-x}- \lim_{x \to +\infty }xe^{-x} =1 \end{eqnarray}$ für c) i) 0,64 ii) 0,594 iii) 0,406 was sagt ihr dazu ? Ist das richtig so ?
06.06.2018, 15:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht alles gut aus. Es handelt sich hier übrigens um die Erlang-Verteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Erl}(1,2) \end{eqnarray}$ , welche innerhalb der umfassenderen Verteilungsklasse mit der Gammaverteilung $\begin{eqnarray} \Gamma(2,1) \end{eqnarray}$ identisch ist.
06.06.2018, 15:19	Lauraundlisa1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lieber Hal Achso ok vielen Dank
06.06.2018, 15:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
c) habe ich ganz übersehen - also das habe ich nicht nachgerechnet. Sieht aber nicht unplausibel aus (auf jeden Fall stimmt ii)+iii) = 1).
06.06.2018, 15:38	Lauraundlisa1	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dann wird wahrscheinlich i) auch stimmen

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