Isometrie, Eigenvektoren

06.06.2018, 16:15	Mighty_Mouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie, Eigenvektoren Meine Frage: Hallo! Ich soll folgendes zeigen und komme leider überhaupt nicht voran: Für $\begin{eqnarray} f\in End (C^{n}) \end{eqnarray}$ selbstadjungiert gilt auch: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von f sind orthogonal. Vielleicht kann mir jemand von euch dabei helfen dies zu zeigen. Vielen Dank Meine Ideen: Als Hinweis bekam ich: Betrachte: $\begin{eqnarray} \phi(f(u_{1}), u_{2}) = \phi(u_{1},f(u_{2})) \end{eqnarray}$
06.06.2018, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht wie von selbst, wenn man den Hinweis benutzt: $\begin{eqnarray} \lambda_1\phi(u_1,u_2)=\phi(\lambda_1u_1,u_2)=\phi (f(u_1),u_2)=\phi(u_1,f(u_2))=... \end{eqnarray}$ jetzt denkst du darüber nach, rechnest du noch etwas weiter, und ziehst die richtigen Schlüsse
07.06.2018, 08:10	Mighty_Mouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuche ich es mal.... $\begin{eqnarray} \phi(f(u_{1}),u_{2}) = \phi(u_{1},f(u_{2})) <br /> <br /> \Leftrightarrow \phi(\lambda_{1} u_{1},u_{2}) = \phi(u_{1},\lambda_{2} u_{2}) <br /> <br /> \Leftrightarrow \lambda_{1}\phi(u_{1},u_{2}) = \bar{\lambda_{2}}\phi(u_{1},u_{2})<br /> <br /> \Leftrightarrow \lambda_{1}\phi(u_{1},u_{2}) - \bar{\lambda_{2}}\phi(u_{1},u_{2}) = 0<br /> <br /> \Leftrightarrow \phi(u_{1}, u_{2})(\lambda_{1} - \bar{\lambda_{2}}) = 0<br /> <br /> \Rightarrow \phi(u_{1}, u_{2}) = 0 \lor (\lambda_{1} - \bar{\lambda_{2}}) = 0<br /> <br /> \lambda_{1} - \bar{\lambda_{2}} = \lambda_{1} - \lambda_{2} \end{eqnarray}$ (da EW reell) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda_{1} - \lambda_{2} = 0 , \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung und $\begin{eqnarray} \lambda = \| 1 \| \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Widerspruch $\begin{eqnarray} \Rightarrow \phi(u_{1}, u_{2}) = 0 \end{eqnarray}$ Kommt das so in etwa hin?
07.06.2018, 09:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz so viele Äquivalenzen sind nicht nötig, stattdessen kann man die Gleichungskette fortsetzen, und wenn man ein paar kleine Fehler weg lässt, sieht das dann so aus: $\begin{eqnarray} \lambda_1\phi(u_1,u_2)=\phi(\lambda_1u_1,u_2)=\phi (f(u_1),u_2)=\phi(u_1,f(u_2))=\phi(u_1,\lambda_2u_2)=\overline{\lambda_2}\phi(u_1,u_2)\Rightarrow (\lambda_1-\overline{\lambda_2})\phi(u_1,u_2)=0\Rightarrow \phi(u_1,u_2)=0 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \overline{\lambda_2}=\lambda_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_1-\lambda_2\ne 0 \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »