Globales Extremum

07.06.2018, 13:45

MatheStudent500

Globales Extremum

Hallo Leute,
wie kann man bei folgender Frage arumentieren:
Sei $\begin{eqnarray*} g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit genau einem lokalen Extremum im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist es sogar ein globales Extremum.

Wie macht man das?

07.06.2018, 15:22

HAL 9000

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Betrachten wir o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ als lokale Minimumstelle. Jetzt nimm an, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht globale Minimumstelle ist und führe diese Annahme zum Widerspruch, wobei du in der Argumentation ja verwenden darfst, dass es keine weiteren lokalen Extremstellen geben darf.

P.S.: Bereits im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ stimmt die Behauptung nicht: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2-x^3+y^2 \end{eqnarray*}$ hat nur einen lokalen Extrempunkt (0,0), der ist aber nicht global.

07.06.2018, 15:41

MatheStudent500

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Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ keine globale Minimalstelle wäre, dann gäbe es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0' \end{eqnarray*}$ , der einen kleineren Funktionswert hat. Das wäre dann ein weiteres lokales Minimum, was es aber nach Vorausstzungen nicht geben kann.
Geht das?

07.06.2018, 15:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheStudent500
Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ keine globale Minimalstelle wäre, dann gäbe es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0' \end{eqnarray*}$ , der einen kleineren Funktionswert hat.

Ja.

Zitat:

Original von MatheStudent500
Das wäre dann ein weiteres lokales Minimum

Nein: Die Funktion kann ja weiter monoton fallen bis $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . So einfach ist es also nicht. Augenzwinkern

07.06.2018, 16:04

MatheStudent500

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Wie wäre denn das entscheidene Arugment verwirrt

07.06.2018, 16:39

HAL 9000

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"Eins" reicht nicht, zumindest nicht bei mir, vermutlich stelle ich mich zu umständlich an...

Angenommen, $\begin{eqnarray*} g(x_0) \end{eqnarray*}$ ist nicht globales Minimum, dann gibt es eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x_1)<g(x_0) \end{eqnarray*}$ - soweit folge ich dir.

Dabei können wir o.B.d.A. von $\begin{eqnarray*} x_1>x_0 \end{eqnarray*}$ ausgehen - die Argumentation im anderen möglichen Fall $\begin{eqnarray*} x_1<x_0 \end{eqnarray*}$ verläuft ziemlich analog.

Laut Satz vom Minimum und Maximum nimmt die ja auch stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ ihr Maximum an, d.h. die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Maximumstellen ist nichtleer. Ist auch $\begin{eqnarray*} M\cap (x_0,x_1)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h. gibt es eine Maximumstelle $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ im Inneren dieses Intervalls, so ist dieses $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auch lokale Maximumstelle der Gesamtfunktion, Widerspruch zur Einzigkeit der lokalen Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls ist $\begin{eqnarray*} M\subseteq\{x_0,x_1\} \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} g(x_1)<g(x_0) \end{eqnarray*}$ kann es aber nur $\begin{eqnarray*} M=\{x_0\} \end{eqnarray*}$ sein, d.h., $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist auch die einzige Maximumstelle der auf $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ eingeschränkten Funktion.

Da $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ lokales Minimum ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon\leq x_1-x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)\geq g(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0<x<x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig gilt wegen der Einziges-Maximum-Eigenschaft im Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} g(x)<g(x_0) \end{eqnarray*}$ für all diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , was ein klarer Widerspruch ist.

07.06.2018, 16:56

MatheStudent500

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Zitat:

Original von HAL 9000

Laut Satz vom Minimum und Maximum nimmt die ja auch stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ ihr Maximum an, d.h. die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Maximumstellen ist nichtleer. Ist auch $\begin{eqnarray*} M\cap (x_0,x_1)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h. gibt es eine Maximumstelle $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ im Inneren dieses Intervalls, so ist dieses $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auch lokale Maximumstelle der Gesamtfunktion, Widerspruch zur Einzigkeit der lokalen Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe noch nicht alles genau. Du sagst die Funktion nimmt auf dem kompakten Intervall ihr Maximum an und damit ist Menge der Maximalstellen nichtleer, weil ja ein Element mindestens enthalten ist. Warum sollte aber dann das gelten: $\begin{eqnarray*} M\cap (x_0,x_1)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,

07.06.2018, 17:02

HAL 9000

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Lies doch mal bitte richtig:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist auch $\begin{eqnarray*} M\cap (x_0,x_1)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ [...]

Andernfalls ist $\begin{eqnarray*} M\subseteq\{x_0,x_1\} \end{eqnarray*}$

D.h. das erste kennzeichnet einen möglichen (!) Fall, in dem dann dieses und jenes gefolgert werden kann.

Tritt der Fall jedoch nicht ein, dann eben der andere unten genannte, denn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist ja gemäß dem Satz eine nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ .

07.06.2018, 17:06

MatheStudent500

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Aso, dann betrachtest du $\begin{eqnarray*} M\subseteq\{x_0,x_1\} \end{eqnarray*}$ , also die Ränder des Intervalls, weil du vorher das Innere des Intervalls schon behandelt hast oder?

07.06.2018, 17:07

HAL 9000

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Ja klar, was denn sonst.

Ich hab das aber nicht ohne Grund so umständlich formuliert, weil ich in dem zweiten Fall unbedingt "einziges (!) Maximum am Rand" haben wollte, nicht nur "irgendein Maximum am Rand", letzteres hätte nämlich den Beweis nur noch ein bisschen (und das eben unnötig) länger gemacht.

07.06.2018, 17:15

MatheStudent500

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Danke dir

Ich habe alles verstanden smile

09.06.2018, 18:35

Mathestudent500

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Hallo,
ich hätte noch eine Anmerkung.
Reicht es auch zu argumentieren, dass die 1. Ableitung nur an der Stelle x_0 einem Vorzeichenwechsel hat?

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