Symmetrische Matrix - positiv semidefinit

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Victor12 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Matrix - positiv semidefinit
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix genau dann positiv
semidefinit ist, wenn für das charakteristische Polynom gilt, dass für jedes i.
[Hinweis: eine symmetrische Matrix in hat nur reelle Eigenwerte,
dass heißt zerfällt in Linearfaktoren.]

Meine Ideen:
Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen.

Wäre sehr dankbar!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte, d.h., das charakteristische Polynom zerfällt komplett in Linearfaktoren



mit reellen . Angesichts der bekannten Charakterisierung von positiver Semidefinitheit ist die hier zu beweisenden Behauptung äquivalent zu dieser Aussage:

Zitat:
" für alle " in Darstellung (*) ist äquivalent zu " für alle " in Darstellung .

Die Hinrichtung folgt leicht mit Vieta, die Rückrichtung könnte man z.B. indirekt erledigen, indem man einfach mal für ein negatives betrachtet.
 
 
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