Symmetrische Matrix - positiv semidefinit

07.06.2018, 15:41

Victor12

Symmetrische Matrix - positiv semidefinit

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} A\in Mat_{R} \end{eqnarray*}$ genau dann positiv
semidefinit ist, wenn für das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} j_{A}(t) = a_{0} + a_{1}t+ · · · + a_{n}t^{n} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-i} a_{i} \geq 0 \end{eqnarray*}$ für jedes i.
[Hinweis: eine symmetrische Matrix in $\begin{eqnarray*} Mat_{n}(R) \end{eqnarray*}$ hat nur reelle Eigenwerte,
dass heißt $\begin{eqnarray*} j_{A}(t) \end{eqnarray*}$ zerfällt in Linearfaktoren.]

Meine Ideen:
Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen.

Wäre sehr dankbar!

07.06.2018, 16:20

HAL 9000

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Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte, d.h., das charakteristische Polynom zerfällt komplett in Linearfaktoren

$\begin{eqnarray*} j_A(t) = \prod_{k=1}^n (t-\lambda_k)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit reellen $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ . Angesichts der bekannten Charakterisierung von positiver Semidefinitheit ist die hier zu beweisenden Behauptung äquivalent zu dieser Aussage:

Zitat:

" $\begin{eqnarray*} \lambda_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ " in Darstellung (*) ist äquivalent zu " $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-i}a_i\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$ " in Darstellung $\begin{eqnarray*} j_A(t)=\sum_{i=0}^n a_it^i \end{eqnarray*}$ .

Die Hinrichtung folgt leicht mit Vieta, die Rückrichtung könnte man z.B. indirekt erledigen, indem man einfach mal $\begin{eqnarray*} j_A(\lambda_k) \end{eqnarray*}$ für ein negatives $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ betrachtet.

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