Eigenraum und Eigenwerte in F2

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illo Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum und Eigenwerte in F2
Hallo,

habe eine Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob ich die so richtig gelöst habe.

Es ist folgende Matrix gegeben



Ich soll nun das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume bestimmen.
Das alles in F2.

Leider habe ich beim Rechnen in F2 noch nicht ganz die Sicherheit.
Hab jetzt alles mal durchgerechnet und vielleicht kann ja einer nochmal drüber schauen, ob das so richtig ist.
Hab es jeweils für F2 und für R gemacht.

X*I - Matrix ergibt :





Für das Polynom habe ich x^3 - x^2 - x^2 + x in R
also x^3 - 2x^2 + x

In F2 müsste da ja jetzt eigentlich x^3+x^2+x^2+x stehen. Und x^2+x^2 sollte ja eigentlich =0 sein, da 1+1=0 und 0+0=0
Also x^3+x

Nullstelle/Eigenwert wär dann für reele Zahlen x1=0,x2=1,x3=1

Und für F2 bin ich mir jetzt nicht wirklich sicher.

Wenn man es ausschreibt wäre es ja 1*1*1+1=0 also Nullstelle bei 1
und 0*0*0+0=0 also Nullstelle bei 0.

Eigenräume für reele Zahlen spare ich mir an diesem Punkt und gehe gleich zu F2


da 1-1 = 1+1 =0 ist und -1=1 kommt dieses LGS raus für x1=1

0*a + b + c = 0
0*a + 0*b + 0*c = 0
0*a + b + c = 0

Es folgt

b + c = 0
b = -c
a = 0

Eigenraum wäre jetzt (0,1,1) für x1=1

LGS für x2=0

a + b + c = 0
0*a + b + 0*c = 0
0*a + b + 0*c = 0


b = 0
a = -c
a + c = 0

Eigenraum wäre (1,0,1) für x2=0

Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen Freude
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt fast, und weil du fleißig warst, gebe ich eine Musterlösung.



denn und die 3x3-Determinante kann man nach der 1. Spalte entwickeln.







 
 
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