Untervektorraum

07.06.2018, 16:55	LIMESWARRIOR3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum Meine Frage: Das mathematische Pendel wird für kleine Auslenkungswinkel $\begin{eqnarray} \varphi(t) \end{eqnarray}$ näherungsweise durch die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \varphi''(t)+ w^{2}\varphi(t)= 0 \end{eqnarray}$ (1) beschrieben. a) Zeigen Sie, dass die Lösungen von Gleichung (1) einen Untervektoraum des Vektorraumes der reellen Funktionen bilden. b) Bestimmen Sie die Dimension dieses Untervektorraumes. Meine Ideen: Ich habe nun die Lösung der Differentialgleichung, die folgendermaßen lautet: $\begin{eqnarray} \varphi(t)= Ae^{iwt} + Be^{-iwt} \end{eqnarray}$ Ich weiß jetzt nicht, wie ich daraus zeigen kann, dass hier ein Untervektorraum vorloegt. Könnte mir jemand Tipps geben? Danke
07.06.2018, 17:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass ist die Darstellung der allgemeinen Lösung, wenn man das ganze komplexwertig auffasst. Wäre sicher anratsam, daraus zunächst eine Darstellung der rein reellen Lösungen zu extrahieren.
07.06.2018, 17:26	LIMESWARRIOR3000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum Okay. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \varphi(t)= Ae^{iwt} + Be^{-iwt} \equiv \varphi(t)= A\cos(wt)+ B\sin(wt) \end{eqnarray}$ Wie gehe ich nun weiter vor?
07.06.2018, 17:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte Bauchschmerzen, rechts dieselben Symbole $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ zu nehmen wie links - jemand könnte auf die Idee kommen, dass die tatsächlich im konkreten Fall auch gleich sind... Na egal. a) ist reine Technik, Überprüfung der VR-Axiome. b) Zeige, dass $\begin{eqnarray} \left\{ \cos(\omega t), \sin(\omega t) \right\} \end{eqnarray}$ eine Basis des Lösungsraumes ist.

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