Korrelationskoeffizient

09.06.2018, 11:27

MBO

Korrelationskoeffizient

Meine Frage:
Kann mir jemand Beispiele von Zufallsvariablen X, Y mit Werten in {0,1} angeben, für die gilt:

1.) verwirrt

X,Y)=1
2.) verwirrt

X,Y) in (0,1)
3.) verwirrt

X,Y)=-1
4.) verwirrt

X,Y)=0
5.) verwirrt

X,Y) in (-1,0)

Meine Ideen:
Danke im Voraus.

09.06.2018, 18:18

HAL 9000

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Also wenn

bei dir den Korrelationskoeffizienten bezeichnet (interessante Symbolwahl), dann sollte es hinsichtlich der Klammersetzung aber besser verwirrt

(X,Y)=1 heißen, usw.

10.06.2018, 09:36

MBO1

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Ich habe das Symbol für Rho kopiert und eingefügt, was zu diesem Emoticon geführt hat.

10.06.2018, 09:43

MBO2

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$\begin{eqnarray*} 1.) \rho(X,Y)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2.) \rho(X,Y) \in (0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3.) \rho(X,Y)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4.) \rho(X,Y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5.) \rho(X,Y) \in (-1,0) \end{eqnarray*}$

Verbessert

10.06.2018, 10:42

HAL 9000

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Ok, damit meinst du es ja vielleicht doch ernst. Die Mehrzahl der Leute, die solches Copy+Paste-Zeug verzapfen und nicht zeitnah korrigieren, sind Cross-Poster, die sich nie wieder blicken lassen...

Zum Thema: Für alle Teilaufgaben 1)-5) genügt es, die symmetrische Verteilung

$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0) = P(X=1,Y=1) = \frac{1+r}{4},\;P(X=0,Y=1) = P(X=1,Y=0) = \frac{1-r}{4} \end{eqnarray*}$

zu betrachten, mit angepasstem Parameter $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ...

10.06.2018, 10:54

MBO3

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Könntest du mir vielleicht anhand der eins ein genaues Beispiel geben? Komme nicht drauf.

10.06.2018, 10:56

HAL 9000

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Rechne doch erstmal (mit zunächst offenem r) den Korrelationskoeffizienten der von mir angegebenen Verteilung aus, dann erledigt sich diese überflüssige Frage.

10.06.2018, 18:11

MBO4

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Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=4r \end{eqnarray*}$ , jedoch für die Varianz von X und Y null.
Da kann doch irgendetwas nicht stimmen.

10.06.2018, 18:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von MBO4
Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=4r \end{eqnarray*}$

Nein, richtig ist $\begin{eqnarray*} \frac{r}{4} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MBO4
jedoch für die Varianz von X und Y null.

Das kann nur passieren, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ jeweils konstant sind - was nicht der Fall ist:

Tatsächlich sind beide gleichverteilt auf {0,1}, d.h. $\begin{eqnarray*} P(X=0)=P(X=1)=P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , wie man an den Spalten- und Zeilensummen der o.g. Verteilung sieht.

11.06.2018, 07:34

MBO5

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Habe vergessen durch 16 zu dividieren. Mit $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=\frac{r}{4} \end{eqnarray*}$ komme ich auf $\begin{eqnarray*} \rho(X,Y)=r \end{eqnarray*}$

11.06.2018, 07:37

HAL 9000

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Das ist richtig. Der o.g. Verteilungsansatz erlaubt nun eine beliebige Parameterwahl $\begin{eqnarray*} r\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ (man muss nur beachten, dass alle Wkt-Werte >0 sind; Gesamtsumme =1 ist bereits per Ansatzbildung erfüllt), da sollte es für den Fortgang der Aufgabenlösung kein großes Kopfzerbrechen mehr geben. Augenzwinkern

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