Ordnung einer Nullstelle (komplex)

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Nullstelle (komplex)
Hallo Leute,

ich sitze an folgender Aufgabe:
[attach]47409[/attach]

Mit der uns gegebenen Definition:
[attach]47410[/attach]

Meine Gedanken zu a):


Nun ist:

Die Ordnungen der Nullstellen sind also jeweils null.

zu b)





Sei nun , dann auch die zweite und dritte Ableitung an , aber nicht die dritte, da:
Die Ordnung der Nullstelle(n) ist also 3.

zu c)
Die Nullstellen von sind
Es ist

Dies wird für nicht null, die Ordnung ist damit null

Ist das so richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Die Ordnung gibt an, welche Ableitung an der Nullstelle das erste mal ungleich Null wird. Eine Ordnung von 0 ist demnach unmöglich.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Nicht ganz. Die Ordnung gibt an, welche Ableitung an der Nullstelle das erste mal ungleich Null wird. Eine Ordnung von 0 ist demnach unmöglich.


Hammer Natürlich, sonst wäre es ja auch keine Nullstelle, wenn man beachtet.

Bei der ersten und dritten also jeweils schreiben statt null.
Die zweite Lösung würde ich so belassen
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Also gibt es keine Ableitung, die an der Nullstelle ungleich Null ist verwirrt
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, ich merke wie die Konzentration nachlässt. Ich muss an die Luft Big Laugh

Also zur a)
Da ich ja schon rausgefunden habe, dass die erste Ableitung jeweils nicht null wird, ist die Ordnung 1.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es Freude
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar. Und die c) würde ich so lassen, da beim ableiten jeweils nur 1 in der Klammer addiert wird.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimme ich nicht ganz mit Dir überein.
Zum einen hast Du falsche z angegeben (Es gibt nur eine reelle Nullstelle, die übrigen sind komplex), zum anderen haben nicht alle Nullstellen dieselbe Ordnung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Ordnung einer Nullstelle einer holomorphen Funktion zu bestimmen, würde ich mit



arbeiten. Jedenfalls immer dann, wenn diese Darstellung ohne zuviel Aufwand herzustellen ist.

Wie etwa bei . Mit gilt nämlich



Hieran liest man die Ordnungen der vier Nullstellen unmittelbar ab. Ein Faktor liefert die Nullstelle, die drei andern das , zum Beispiel:



Offenbar ist , wie man der Faktordarstellung von entnimmt. Daher hat die Nullstelle die Ordnung 1.

Und bei hätte ich so gerechnet:



Und man liest 3 als Ordnung der Nullstelle ab.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Da stimme ich nicht ganz mit Dir überein.
Zum einen hast Du falsche z angegeben (Es gibt nur eine reelle Nullstelle, die übrigen sind komplex), zum anderen haben nicht alle Nullstellen dieselbe Ordnung.


Ich habe nun raus:
Die Nullstellen sind , also einzige reelle Nullstelle für k=0, übrige komplex.
Nun ist:
und

Ok, es ist nun:
, aber
Die Ordnung der rein imaginären Nullstellen ist also 1, die Ordnung der reellen Nullstelle 0 ist 2, denn
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