Oberfläche einer Kugel

09.06.2018, 17:15

MasterWizz

Oberfläche einer Kugel

Hey Leute,

ich habe wohl einen kleinen Denkfehler bei der Berechnung der Oberfläche einer Kugel mit einem Oberflächenintegral. Könnt ihr mir helfen und den Fehler bei meiner Rechnung finden?

Gegeben ist die Oberfläche einer Kugel (K) mit Radius $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ in impliziter Form durch $\begin{eqnarray*} \Phi(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-R^2=0 \end{eqnarray*}$ . Der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} \Phi_x \\ \Phi_y \\ \Phi_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Oberfläche sollte sich also berechnen lassen durch:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{K}\mathrm{d}o = \iint\limits_{K}\!|\vec{n}|\,\mathrm{d}(x,y) = 2\iint\limits_{x^2+y^2\leq R^2}\!\underbrace{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}_{=R}\,\mathrm{d}(x,y) = 2R\underbrace{\iint\limits_{x^2+y^2\leq R^2}\mathrm{d}(x,y)}_{=\pi R^2} = 2\pi R^3 \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch, denn die Oberfläche einer Kugel beträgt $\begin{eqnarray*} 4\pi R^2 \end{eqnarray*}$ . Seht ihr den Fehler an dieser Rechnung?

09.06.2018, 20:35

Huggy

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RE: Oberfläche einer Kugel

Zitat:

Original von MasterWizz
Die Oberfläche sollte sich also berechnen lassen durch:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{K}\mathrm{d}o = \iint\limits_{K}\!|\vec{n}|\,\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug. Man kann das Oberflächenintegral zwar umschreiben in

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{K}\mathrm{d}o = \iint\limits_{K}\! \vec{n}\cdot \mathrm{d} \vec o \end{eqnarray*}$

Dann muss aber $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein Normaleneinheitsvektor sein, also $\begin{eqnarray*} |\vec n|=1 \end{eqnarray*}$ , und das ist dein $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ nicht. Und wäre es ein Normaleneinheitsvektor, hätte man weiter

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{K}\mathrm{d}o = \iint\limits_{K}\! \vec{n}\cdot \mathrm{d} \vec o =\iint\limits_{K} |\vec n | |d \vec o|=\iint\limits_{K} 1 \cdot d o \end{eqnarray*}$

Es ist auch keineswegs $\begin{eqnarray*} do = d(x,y) \end{eqnarray*}$ , selbst wenn man für eine Parameterdarstellung der Oberfläche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Parameter wählt. Nach dieser Umformung, korrekt ausgeführt, gilt also mit Goethe:

Da steh ich nun, ich armer Tor!
Und bin so klug als wie zuvor;

Möchte man von der Umschreibung in ein Oberflächenintegral 2. Art profitieren, dann über den Satz von Gauß. Sei $\begin{eqnarray*} \vec r =(x,y,z) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \vec n = \frac {\vec r}{R} \end{eqnarray*}$

ein Normaleneinheitsvektor auf der Oberfläche der Kugel. Man kann diesen Vektor problemlos ins Innere der Kugel fortsetzen, wo er natürlich kein Einheitsvektor mehr ist. Mit dem Satz von Gauß hat man dann

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{K}\mathrm{d}o = \iint\limits_{K}\! \vec{n}\cdot \mathrm{d} \vec o =\iiint\limits_K \vec \nabla \cdot \vec n \,dV=\frac 3 R \iiint\limits_K dV \end{eqnarray*}$

09.06.2018, 23:37

MasterWizz

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Moment mal!

Zitat:

Das ist Unfug. Man kann das Oberflächenintegral zwar umschreiben $\begin{eqnarray*} \iint\limits_K\mathrm{d}o = \iint\limits_K\!|\vec{n}|\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$

Das habe ich nicht gemacht und darauf will ich auch nicht hinaus. Die Formel $\begin{eqnarray*} \iint\limits_K\mathrm{d}o = \iint\limits_K\!|\vec{n}|\,\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$ ist die Transformationsformel für Oberflächenintegrale, die wir schon besprochen haben und wie es auch auf Wikipedia zum skalaren Oberflächenelement steht, da gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o=|\vec{n}|\cdot\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ , nenn die Variablen auch gern (u,v), aber darum gehts ja hier nicht.

Edit: Das haben wir auch genauso in der einen Beispielaufgabe gemacht, die wir zusammen besprochen haben, die ich aber nicht mehr finden kann.

10.06.2018, 09:10

Huggy

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Zitat:

Original von MasterWizz
und wie es auch auf Wikipedia zum skalaren Oberflächenelement steht, da gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o=|\vec{n}|\cdot\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Nein, das steht da nicht. Da steht

$\begin{eqnarray*} do=|\vec\varphi_x \times \vec\varphi_y|dxdy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec\varphi_x \times \vec\varphi_y \end{eqnarray*}$ ergibt aber nicht dein $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ .

10.06.2018, 10:44

MasterWizz

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Haha das ist doch das selbe. $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\vec{\phi}_x\times\vec{\phi}_y \end{eqnarray*}$ . Oder willst du mir sagen, dass die Rechnung scheitert, weil ich den Normalenvektor nicht als Kreuzprodukt zweier Tangentialvektoren berechnet habe, sondern ihn direkt ausgerechnet habe?

Edit: Ist es denn nicht möglich den "richtigen" Normalenvektor für die Rechnung gleich aus der impliziten Darstellung zu bestimmen ohne vorher eine Parametrisierung gefunden zu haben?

10.06.2018, 10:56

Huggy

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Es gibt nicht den Normalenvektor. Es gibt viele Normalenvektoren. Dein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist auch nicht das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus der Wikipedia. Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} \vec\varphi_x \times \vec\varphi_y \end{eqnarray*}$ mit der Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi (x,y) \end{eqnarray*}$ aus der Wikipedia. Das bringt mehr als das wilde Aufstellen von Behauptungen.

10.06.2018, 12:47

MasterWizz

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Ich habe auch nie behauptet, dass es den Normalenvektor gibt. Mir ist klar, dass es unendlich viele gibt. Die Betonung lag auf richtigen Normalenvektor (in Bezug auf den Rechenweg). Außerdem kenne ich mindestens 2 andere Wege das richtige Ergebnis ebenfalls mit einem Oberflächenintegral auszurechnen. Ich weiß auch, dass für eine Fläche in impliziter Form $\begin{eqnarray*} \Phi(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ sich ein Normalenvektor berechnen lässt mit $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} \Phi_x \\ \Phi_y \\ \Phi_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Was ich aber immer noch nicht weiß ist, wie ich mit diesem Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf die Oberfläche meiner Kugel komme.

10.06.2018, 13:41

Huggy

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Mit diesem Normalenvektor kommst du nicht auf die Oberfläche, weil es eben nicht der "richtige" ist für die Berechnung der Oberfläche. Der richtige ist eben $\begin{eqnarray*} \vec\varphi_x\times \vec\varphi_y \end{eqnarray*}$ . Er berücksichtigt gerade, dass die senkrechte Projektion eines kleinen Stücks der Kugelobefläche vom Nordpol in die x-y-Ebene größer ist als die Projektion eines gleichen großen Flächenstücks, das sich am Äquator befindet. Deshalb ist seine Länge nahe dem Äquator viel größer als am Nordpol. Da du das aber nicht akzeptieren willst, sondern du lieber deine eigene Mathematik erfindest, kann ich dir nicht weiterhelfen.

10.06.2018, 14:02

MasterWizz

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Ich hab das Prinzip schon verstanden. Mathematik ist aber nicht irgend ein starres totes Objekt oder ein festes Rechenschema, sondern es ist lebendig und vielseitig. Und nur weil ich das Ergebnis mit Parametrisierungen in karthesischen- und Kugelkoordinaten berechnen kann, interessieren mich noch viele weitere Möglichkeiten. Ich finde schön an der Mathematik, dass Logik invariant ist gegenüber dem Blickwinkel. Darum wollte ich gern besprechen, welche Möglichkeiten uns ein schnell zu bestimmender Normalenvektor bietet.

Ich bin nicht einer von denen, die schnell ein Ergebnis für eine Rechnung haben wollen. Ich liebe es mit der Mathematik zu spielen. Aber wenn du felsenfest überzeugt bist, dass mit diesem Normalenvektor nichts anzufangen ist, dann schreib das gern als ersten Kommentar und ich hätte nicht weiter nachgefragt Freude

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