Untersuchung der Irreduzibilität

Neue Frage »

FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung der Irreduzibilität
Hi, ich bräuchte etwas Hilfe bei der folgenden Aufgabe.


Aufgabe:

(a) Sei ein Integritätsring und unitär. Dann gilt:
ist irreduzibel in hat keine Nullstelle in
Für gilt auch

(b) Hat eine Nullstelle , so ist ein Teiler von

(c) Sei ein Integritätsring, und beliebig. Dann gilt:
ist irreduzibel in ist irreduzibel in


Meine Ideen:
Vorüberlegung: Da ein Integritätsring ist, ist insbesondere auch ein Integritätsring und

zu a)


Angenommen besitzt eine Nullstelle , dann können wir diese abspalten und erhalten einen Teiler von . Da dieser nicht invertierbar ist, ist nicht irreduzibel.


Besitzt keine Nullstelle in , so können wir auch keinen Teiler vom Grad abspalten. Wenn reduzibel wäre, müsste es aber wegen mindestens einen gäben.


zu b) und c) hab ich noch nichts. Rein vom Gefühl her würde ich aber versuchen, die a) irgendwie darauf anzuwenden...
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

zur b)

Sei und eine Nullstelle. Offensichtlich sind und teilerfremd, da für alle gilt. Wior haben also:



Multiplikation mit liefert:

Umstellen ergibt

sowie


Da aber und Eins teilerfremd sind, gilt
 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre schön wenn mir noch jemand helfen könnte. Bei der c) sieht mein Gedankengang jetzt etwa so aus:



Mein Problem ist jetzt aber, das damit irreduzibel sind sein müssen und ich weiß nicht wie ich das am besten zeige. Oder gilt das schon automatisch, weil ein Konstantes Polynom ist. ist ja Integritätsring, und somit
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine b) ist unnötig komplziert. Wieso schleppst du überallt 1 bzw extra mit?

c) Verwende, dass ein Ringisomorphismus ist.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, bei der b) hab ich die Eins überall mitgenommen, weil es da so ein Kriterium für rationale Nullstellen gab und ich es so besser gesehen hab. Hast aber Recht, ist unnötig. Passt die a) eigentlich? Also die ich noch in der Aufgabenstellung versucht hab zu lösen?

Zur c) Meinste das so?




Da folgt, das liegt, aufgrund der Irreduzibilität von . Also konstant Die andere Richtung müsste ich dann analog so machen:

tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

c) Nein meine ich nicht, es braucht kein Rumgerechne.
Du hast nen Isomorphismus und Isomorphismen erhalten irreduzibilität.

Die a) passt.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann danke. Das Isomorphismen Irreduzibilität erhalten wusste ich nicht... hatten wir noch net smile
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Isomorphismen Irreduzibilität erhalten wusste ich nicht... hatten wir noch net

Dann zeig es.
Ist eine viel bessere Übung als Gleichungen durch die Gegend zu schieben.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich hab mir das gerade nochmal angeschaut und bist du dir sicher das überhaupt ein Ringhomomorphismus ist? Dann müsste er ja insbesondere für die Addition und Multiplikation ein Gruppenhomomorphismus sein und es ist ja





Oder meintest du ?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hi, ich hab mir das gerade nochmal angeschaut und bist du dir sicher das Õ:R[x]→R[x],X↦X+a überhaupt ein Ringhomomorphismus ist

Ich verwende hier absolut übliche Konventionen. Es gibt genau einen Ringhomorphismus der die Bedingung X↦X+a erfüllt und den meine ich.

Im übrigen habe ich :R[X]→R[X],X↦X+a , geschrieben. Beachte: X ist hier ein spezielles Ringelement.

Zitat:
Õ:R[x]→R[x],f(x)↦f(x+a)?

den meine ich.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hätte ich dann noch, wenn wobei Körper vom Grad 1 ist, ist es doch immer irreduzibel. Gilt das auch in meinem Fall, weil gefordert ist, das unitär ist?

Dann ist ja jedes Polynom vom Grad 1 der Form und ist ja natürlich invertierbar...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »