Spieltheorie - Oberst Blotto im Stellungskrieg

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Spieltheorie - Oberst Blotto im Stellungskrieg
Oberst Blotto besitzt 3 Einheiten und muss einen feindlichen Vorposten, der von 2 Einheiten verteidigt wird, einnehmen. Er muss dabei vorsichtig vorgehen, damit der Feind nicht sein eigenes Lager besetzt während er den feindlichen Vorposten angreift.
Ein Angreifer benötigt, um erfolgreich zu sein, eine Einheit mehr als der Verteidiger. Ist der Angreifer nicht stark genug, so zieht er sich einfach in sein eigenes Lager zurück und das Spiel wiederholt sich am nächsten Tag.
Die Auszahlung beträgt +1 wenn Blotto den feindlichen Vorposten einnimmt ohne dabei seine eigene Stellung zu verlieren. Sie ist -1 wenn der Feind Blottos Stellung einnimmt.
Angenommen die Auszahlung ist bei unendlicher Wiederholung Null. Das rekursive Spiel kann durch ein einziges Spielelement dargestellt werden. Die Strategien bezüglich entsprechen der Aufteilung in Angreifer und Verteidiger Blotto hat also 4 Strategien, die 0,1,2,3 angreifenden Einheiten entsprechen während sein Gegner dementsprechend über 3 Strategien verfügt. Die Matrix des Spiels hat die Form

Wie man leicht sieht ist der Wert ist =+1
Blottos - optimale gemischte Strategie ist von der Form

je kleiner ist, umso größer ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit und umso größer ist die erwartete Länge des Spiels. Also scheint Geduld äußerst wichtig zu sein. Ist dagegen dann wird das Spiel unendlich oft wiederholt . Somit besitzt Blotto keine optimale Strategie.


a.) Wie ist das mit dem Wert=+1 zu verstehen?
b.) Weshalb ist B optimal?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Ideen:
Der Gegenspieler von Oberst Blotto sei Sato.
B bezeichnet obige optimale (gemischte) Strategie und B(1) bis B(4) die reinen Strategien von Blotto.
Dementsprechend S für irgendeine gemischte Strategie und S(1) bis S(3) die Einzelstrategien von Sato. In der Matrix sei durch 0 ersetzt.



Bei kleinem hat Sato ein Problem. S(3) scheidet praktisch wegen aus.
S(1) dagegen wäre sozusagen die "ich bin 'ne Memme und bleib' Zuhause" Strategie mit dem kleinen Risiko , dass Blotto mit B(4) kontert. Unbrauchbar.

Bleibt noch S(2). Und da stehen die Chancen gegen Sato. Also auch schlecht.
Mit folgt oder z.B. 0.0099 wenn ist. Was dann der Erwartungswert sein dürfte.

Aussagekräftiger ist aber die jeweils zu erwartende Wartezeit (Variante A) bis zum ersten Sieg. Für Blotto ist diese im letzten Beispiel 100 Tage, für Sato hingegen 10000 Tage. Hoffnungslos aber nicht unmöglich.
Wenn Sato mehr auf Risiko geht und z.B. S=( 0.1, 0.8 , 0.1) wählt, dann ergeben sich 9.35 Tage für Blotto und 110.01 Tage für Sato. Immer noch (sau) schlecht aber wenigstens mit " sudden death ".

c.) B ist mMn sehr gut, aber warum optimal?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein mit

liefert oder mit



für kleines w sollte klein sein. Der Rest ist nicht so entscheidend und ist mehr eine Sache der Risikobereitschaft von Sato.

Ausblick: das Spiel ist per Definition gedächtnislos.
Mit Gedächtnis kommt man zu den Spielen mit Verhaltensstrategien.
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