Modulo-Frage

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georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo-Frage
Hallo man soll zeigen :
a) Seien , , man soll zeigen es gibt natürliche Zahlen u,v mit u<v sodass mod m.

b)Seien wie in a) und p=v-u. zeigen sie für alle mit mod m.

zu a ) laut definition muss ich erreichen das
wenn m| a dann gilt das für beliebige u,v
wenn aber a nicht durch m teilbar ist dann ist a=km+r mit einer ganzen zahl k und r in {0,1,...m-1}

jedoch sehe ich nicht wie hier u und v konstruieren kann das obiges gilt .

b) wenn a gelöst.

kann mir jemand helfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

mod m gibt es nur endlich viele Restklassen, also können nicht unendlich viele Potenzen von a paarweise verschieden sein.
Nach dem Schubfachprinzip sind schon unter den ersten m+1Potenzen von a zwei kongruent mod m.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, die Reste sind 0,1,2...m-1 das sind m Elemente.
Du meinst weil diese Menge beschränkt ist kann es nicht unendlich viele u<v geben sodass nicht denselben Rest haben?
Das Schubfachprinzip besagt das :werden n>m objekte auf m Mengen aufgeteilt so gibt es zumindest eine Menge die mehr als ein Objekt beinhaltet.

Für mein Beispiel : wenn ich unendlich viele Paare von u, v auf 0,1,...m-1 aufteilen möchte, gibt es zumindest ein paar das gleiches m hat weil die Menge beschränkt ist. So gemeint?
Wenn dann 2 zahlen den gleichen Rest haben, teilt auch m die Differenz der beiden zahlen, also die Aussage.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von georg2000
Du meinst weil diese Menge beschränkt ist kann es nicht unendlich viele u<v geben sodass nicht denselben Rest haben?

Nein, Elvis meint das, was er geschrieben hat: Es gibt nur maximal mögliche verschiedene Werte , egal wieviel -Exponenten man da einsetzt. Und wenn dies Stück sind, dann sind mindestens zwei dieser Werte einander gleich! Die zugehörigen Exponenten dieser gleichen Werte seien dann eben mit bezeichnet, in der Reihung .

Zitat:
Original von georg2000
wenn ich unendlich viele Paare von u, v auf 0,1,...m-1 aufteilen möchte, gibt es zumindest ein paar das gleiches m hat

Nein, doch nicht gleiches . unglücklich

Der Wert ist hier von vornherein fest, es geht um gleichen Rest bei der Division durch .
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke hal9000!
Für b) hast du auch einen Tipp?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist nach a) trivial. Betrachte . Oder noch trivialer: betrachte .
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Oder noch trivialer: betrachte .

Ich weiß jetzt nicht genau, wie du das meinst, habe aber so meine Bedenken: Immerhin ist hier eine Teilerfremdheit von und nicht vorausgesetzt.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn m,a teilt dann teilt m beliebige Potenzen von a, dh immer Rest 0.
Ansonsten wenn a nicht durch m teilbar ist, sind sie doch teilerfremd?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von georg2000
Ansonsten wenn a nicht durch m teilbar ist, sind sie doch teilerfremd?


Nein, 6 ist kein Teiler von 9.

@HAL 9000
Danke für deinen Hinweis. b) ist nicht trivial.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt , hab ich falsch gedacht .
nach a gibt es aber u<v mit mod m.
da aber mod m.

gilt die Rechengregel :
mod m
mod m
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht's. Freude
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